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Nun zerrt dieses Thema nicht auch noch hier in dieses Forum!
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Ok dann fange ich nochmal von Vorne an.
Motivation meiner Eingangsrechnung :
Mathematische Grundlage der Physik und insbesonders der Ingenieurwissenschaften sind die Differentialgleichungen. Schon F=m*a stellt eine solche dar. Denn a=dv/dt
Sind solche DGL's linear, dann lassen sie sich ueber Vefahren wie die Integraltransformationen oder einen Seperationsansatz analytisch loesen. Teilweise mit nicht unerheblichem Aufwand. Fuer nichtlineare DGL's existieren einige Loesungsverfahren, die ich in einem Thread im Forum zusammengestellt habe. Aber selbst damit lassen sich nicht alle Aufgabenstellungen loesen.
Beispielsweise der realistische Sprung eines Fallschirmspringers unter Beruecksichtigung der Reibung. (Den Thread krame ich nicht mehr vor)
In den 70 er Jahren hat man solche Probleme daher am Analogrechner simuliert. In den 80 er Jahren waren die Digitalrechner leistungsfaehig genug, so dass diese die Analogrechner abloesten.
Das sollte alles bekannt sein.
Bei einer numerischen Simulation auf dem Digitalrechner werden aufgrund der Diskretisierung keine Differentialgleichungen geloest sondern Differenzengleichungen. Im linearen Fall gehen DZGL und DGL ineinander ueber wenn gewisse Stabilitaetskriterien eingehalten werden. Im nichtlinearen Fall ist dies nicht mehr gegeben.
Beispiel :
Die logistische Differentialgleichung (logistische Funktion)
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion
hat ein voellig anderes Loesungsverhalten als die logistische Differenzengleichung, logistische Gleichung, Verhulstgleichung
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung
Insbesonders ist letztere bis heute nicht analytisch loesbar.
Von besonderem Interesse ist heutzutage die Simulation nichtlinearer Differntialgleichungen. (Wetterbericht, Stroemungsdynamik ...) Dafuer gibt es einige Simulationsalgorithmen. Im Bereich des digitalen Filterentwurfs beschraenkt man sich auf den linearen Fall und wendet die Z-Transformation an, die ueber eine Substitution aus der La Place Transformation hervorgeht.
Die Z Transformation ist wie die F-Transformation oder Laplacetransformation nur fuer die Loesung linearer Probleme anwendbar.
Es existieren somit keinen allgemeinen Werkzeuge zur Loesung von nichtlinearen Differenzengleichungen. Die Verhulstgleichung, Mandelbrotmenge sind Paradebeispiele fuer diese Situation. Solche Werkzeuge existieren nur fuer nichtlineare Differentialgleichungen.
Es stellt sich somit die Frage, ob man aufgrund der Verwandtschaft von DGL und DZGL nicht einige dieser Werkzeuge nichtlinearer DGL's nicht auch in modifizierter Form auf Differenzengleichungen anwenden koennte.
Und wie mein erster wirklich einfacher Versuch zeigt :
Jawohl, in beschraentem Maße ist dies scheinbar moeglich :
dy/dt=f(t)/g(y) :
Loest man klassisch ueber Trennen der Variablen
y[k+1]=f(k)/g(y[k])
laesst sich fuer spezielle Funktionen g() mittels Logarithmieren loesen.
Und besonders einfach ist der Fall f(k)=exp(a*k)
Fuer beliebige Funktionen f(k) gibt es wahrescheinlich keine Loesung.
Dies koennte man weiter untersuchen. Und es stehen noch weitere Hilfsmittel fuer nichtlineare DGL's zur Verfuegung, die man modifizieren koennte.
Das war mein Grundgedanke fuer diesen Threads hier.