Zitat:
Zitat von amc
Hier mal ein Besipiel, wie auf einfache und höchst beeindruckende Weise, wie ich finde, die (potenzielle) Unendlichkeit beherschbar werden kann:
Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt.
Es ist also ein Fakt, dass es (potenziell) unendlich viele Primzahlen gibt.
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Hallo AMC,
bei der Betrachtung von unendlichen Mengen muss man unendlich vorsichtig sein. Ich bin mir nicht sicher, dass aus dem Satz von Euklid, dass es keine größte Primzahl gibt, folgt, dass es
unendlich viele Primzahlen gibt.
Warum? Weil man bei dieser Folgerung unausgesprochen die Gültigkeit des "Satzes vom ausgeschlossenem Ditten" voraussetzt. Dieser Satz gilt im allgemeinen bei unendlichen Mengen nicht.
Das heißt, man unterstellt dabei, dass es entweder endlich viele oder unendlich viele Primzahlen gibt. Eine dritte Möglichkeit wird unausgesprochen ausgeschlossen. Was erst zu beweisen wäre, denn wir wissen nicht, ob es zwischen "endlich" und "unendlich" nicht doch noch etwas dazwischen gibt.
Als Beispiel denke ich dabei an die "Kontinuumshypothese". Die behauptet, dass es zwischen der Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit des Zahlen-Kontinuums keine weitere Mächtigkeit gibt. Beim (erfolglosen) Beweisversuch dieser Hypothese ist Georg Cantor psychisch krank geworden.
M.f.G. Eugen Bauhof