[Ich]

Zitat von OldB

Die Dauer der Abbremsphase ist aber nun nicht an die Zeit gekoppelt, die der Stab bräuchte, um sich vollständig auszudehnen. So ergibt sich meiner bescheidenen Meinung nach immer noch die ursprüngliche Diskrepanz.

Rechnen wir das mal, in der Näherung für niedrige Geschwindigkeit.

Wir machen alle Messungen im Ruhesystem des Stabs vor der Bremsung. Wir nehmen einen Punkt des Stabs an x=0 und beschleunigen den so, dass er hinterher Geschwindigkeit -v hat (also im anderes System ruht). Bremsbeschleunigung und -Zeit, a0 und t0, kann man beliebig wählen, solange a0*t0=-v gilt.

Erster Effekt: Gleichzeitigkeit
Der Witz ist: Wir bremsen alle Punkte gleichzeitig im Endsystem, also mit einem Zeitversatz von t(x)=-vx/c² im Stabsystem. Ein benachbarter Punkt in Entfernung x bremst mit demselben Beschleunigungsprofil, aber schon zur Zeit -vx/c². In dieser Zeit fährt Punkt 0 eine Strecke von t(x)*v, die beiden Punkte nähern sich also um s1=-x*v²/c² an.

Zweiter Effekt: Längenkontraktion
Hätten wir den Stab spannungsfrei nach Born gebremst, dann wäre die Strecke x hinterher lorentzkontrahiert, also um s2=-x*v²/(2c²) kürzer.

Der Punktabstand ist also real um Δx = s1-s2 = -x*v²/(2c²) geringer. Entsprechend baut sich im Stab eine Druckspannung von -E*Δx/x = E*v²/(2c²) auf, entsprechend einer Kraft von F=A*E*v²/(2c²), wenn A die Querschnittsfläche ist.
In jedem Längenelement Δx wurde also die Arbeit -F*Δx/2 geleistet, also A*E*Δx*v²/(4c²), über den ganzen Stab A*E*L*v²/(4c²). Daher kommt die Energie, die am Schluss drinsteckt.


Was ist jetzt mit instantan? Wir können die Beschleunigung a0 beliebig groß und t0 beliebig klein machen. Die einzige Bedingung, die für die Rechnung erfüllt sein muss, ist, dass die Kraft verzögerungsfrei an beiden Enden des Längenelements wirkt. Das bedeutet, dass die Lichtlaufzeit durch Δx sehr viel kleiner sein muss als t0, also c*Δx << t0. Wenn man den Festkörper als klassisches Kontinuum sieht, kann man Δx frei wählen und die Bedingung immer erfüllen, die Rechnung stimmt also.
Wenn man sich aber Massenpunkte in einem diskreten Abstand Δx denkt, dann darf t0 nicht beliebig klein werden. Sonst stimmt zwar das Ergebnis, aber wir haben die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Kraft unterschlagen, hätten also gar nicht so rechnen dürfen.