Zitat:
Zitat von SCR
Damit man bei einer Multiplikation zweier Zahlen als Ergebnis eine negative Zahl erhält muß der eine Operand positiv und der andere negativ sein -> i müsste dementsprechend "beide Vorzeichen" in irgendeiner Art und Weise mitbringen.
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Das sehe ich nicht so. Es handelt sich nämlich nicht um eine Multiplikation zweier verschiedener Zahlen, sondern um eine Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. Das heißt, beide Zahlen müssen dasselbe Vorzeichen haben.
Da keine reelle Zahl x die Gleichung x*x=-1 erfüllen kann, wurde eine Zahl i definiert, die genau diese Bedingung erfüllt.
Richy hat es gut formuliert. i ist eine Art Vorzeichen, und zwar in der Art wie -1 ein Vorzeichen darstellt. -i ist folge dessen eine Kombination beider Vorzeichen nämlich i*(-1).
Warum das so funktioniert, gründet in der Antwort auf die Frage, warum überhaupt minus mal minus Plus ergibt. Das ist streng genommen auch eine reine Definitionssache. Genau genommen eine Frage dessen, wie man die Rechenoperationen "mal" und "plus" definiert und ob sie dem Distributivgesetz und Assoziativgesetz gehorchen.
Siehe z.B. hier:
3*(-4) + 3*4 = -12 + 12 = 0 / *(-1)
(-1)*3*(-4) + (-1)*3*4 = (-3)*(-4) + (-3)*4 = ?12 - 12 = 0
Damit die Gleichung stimmt, muss -3 mal -4 plus 12 ergeben.
Dass die Gleichung diese Gestalt überhaupt erst annimmt, ist eine Folge unserer definierten Rechenregeln, insbesondere eine Folge des Distributiv- und Assoziativgesetzes.