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SIEHE ANMERKUNG OBEN. DENNOCH IST DAS BEISPIEL RICHTIG
Mal als Beispiel :
Fib(3*5)=610
Fib(3)=2
Fib(5)=5
610 ist durch 2*5 teilbar
Fib(3*5)=Fib(3)*Fib(5)*61
61 waere der Wert des Restpolynoms, das ich analytisch erfassen moechte. Prinzipiell laesst sich dies ueber die 3 te binomische Formel erreichen :
Fib(a*b)*Fib(a)*Restpolynom_a*Fib(b)/Fib(b)
Restploynom_ab=Restpolynom_a/Fib(b)
Restpolynom_a=61*5=305
Restpolynom_b=61*2=122
Die entsprechende Summe in Maple waere :
P=goldener Schnitt
p=1-P oder -1/P
> a:=3;b:=5;
A)
> (sum((P**a)^(b-n-1)*(p**a)^n,n=0..b-1));
oder vereinfacht :
B)
> ( (P**a)**(b-1)*sum((p**a)^n/(P**a)^n,n=0..b-1));
passt beides
Vereinfachungen :
(P**a)^(b-1)=P^(a*b-a)
In der Summe von B laesst sich ausnuetzen das gilt p=-1/P
und man erhaelt vereinfacht
Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 )
Das ist schonmal ein schoenes Ergebnis :
Fib(a*b)=Fib(a)*P^(a*b-a)*Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 )
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In P^(a*b-a)*Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 ) muss der Teiler Fib(b) enthalten sein.
Die naechste Aufgabe waere somit
P^(a*b-a)*Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 ) / Fib(b) zu vereinfachen
Wobei man die Summe geschlossen angeben kann :
Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 )=[(-1/P^2)^(a*b)-1]/[(-1/P^2)^(a)-1]
Fib(a*b)=Fib(a)*P^(a*b-a)*[(-1/P^2)^(a*b)-1]/[(-1/P^2)^(a)-1]
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