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Alt 24.05.07, 00:18
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Standard AW: Formel(n)erkennung

Es gab da diese Geschichte um eine silberne Taschenuhr und eine Schleppkurve...

Leibniz nun - genial wie er war - (im Einfachen liegt die Genialität keimartig verborgen) zog die an einer Kette befestigte Taschenuhr an einer Tischkante entlang derart, dass die Kettenlinie zunächst senkrecht zur Kante auf dem Tisch lag. Die dadurch sich ergebende Kurve heisst "Schleppkurve":

http://www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/...n/traktrix.htm

Die Zugkette nun ist zur Schleppkurve immer tangential. Damit erhalten wir die Gleichung:

y' = - sqrt(a^2 - x^2)/x

Offensichtlich ist dies eine extrem einfache Differentialgleichung der gesuchten Funktion. Die elementare Integralrechnung lehrt uns ferner, dass alle Funktionen

y(x) := [- Int (sqrt(a^2 - x^2/x) dx + C] dieser DGL genügen.

Integration ergibt:

y(x) := a * ln(a + sqrt(a^2 - x^2)/x) - sqrt(a^2 - x^2) + C

Wegen der Anfangsbedingung y(a) = 0 muss auch die Konstante C = 0 sein.

Somit erhalten wir die Gleichung der Leibniz'schen Traktrix:

y(x) = a * ln(a + sqrt(a^2 - x^2)/x) - sqrt(a^2 - x^2)

Damit betritt man das Gebiet der nicht-algebraischen Kurven. Algebraische Kurven sind simpel gesagt Kurven, die sich durch ein Polynom ausdrücken lassen. Sie lassen sich ggf. auch mit Zirkel und Lineal konstruieren. Nicht-algebraische Kurven hingegen sind transzendenter Natur.

Lässt man die Traktrix um die y-Achse rotieren, entsteht eine Pseudosphäre (also ein Körper mit konstanter negativer Krümmung). Ein Gebiet der nichteuklidischen Geometrie übrigens.

Interessant ist zudem, dass die "Evolute" (Krümmungsmittelpunktskurve) der Traktrix auch ihre "Enveloppe" (Hüllkurve) ist. Als Ausgangskurve wiederum ist die Traktrix selbst eine "Evolvente" (Abwicklungkurve) der Evolute.

Kurven übrigens müssen nicht in jedem Punkt differenzierbar sein. Es gibt sogar solche, die zwar überall stetig, aber nirgends differenzierbar sind wie die Koch-Kurve (Koch'sche Schneeflocke). Damit betritt man aber die Gallerie der mathematischen Monster!

Noch weitere Kurven sind im Nexus der Traktrix zu diskutieren. Sie spielen in der Physik (Kinematik, Himmelsmechanik, Prinzip der minimalen Wirkung) eine bestimmte Rolle.

Gr. zg

Ge?ndert von zeitgenosse (24.05.07 um 08:08 Uhr)
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