Abschliessend zu der behandelten Funktionsgleichung der
Traktrix möchte ich noch zwei weitere Kurven erwähnen, die in der Mechanik eine gewisse Bedeutung besitzen: Zykloide und Kettenlinie.
Eine
Zykloide (Rollkreis) entsteht beim Abrollen eines Kreises, wenn dabei der Weg eines fixen Punktes auf dem Kreisumfang beobachtet wird (mit der Zykloide assoziiert ist auch die
Brachistochrone, dazu später mehr):
http://www.geogebra.org/de/upload/fi...zykloiden.html
Die (gemeine) Zykloide schreibt sich in Parameterdarstellung und Radiantmaß (b = Bogenlänge) als:
x = r(b - sin b) | y = r(1 - cos b)
Diese Kurve spielt in der angewandten Wissenschaft eine historische Rolle (obwohl zunehmends in Vergessenheit geraten). So hat bereits Huygens ein
Zykloidenpendel gebaut. Damit lässt sich eine "tautochrone Bewegung" realisieren. Die
Tautochrone ist Teil der Zykloide:
http://schulen.eduhi.at/riedgym/phys...utochronie.htm
Ein Massenpunkt, der sich allein unter dem Einfluss der Schwerkraft und reibungslos bewegt, gelangt auf der Tautochrone immer in derselben Zeit zum tiefsten Punkt - unabhängig davon, wo der Startpunkt gewählt wird.
Mit Erstaunen habe ich gelesen, dass Melville in seinem literarischen Vermächtnis "Moby Dick" die Tautochroneneigenschaft der Zykloide erwähnt:
Auch für tiefsinnige mathematische Überlegungen ist dies der rechte Platz. Es war im linken Trankessel der "Pequod", wo mir, während ich emsig mit dem Seifenstein im Kreise herumfuhr, die bemerkenswerte Tatsache zum Bewußtsein kam, daß in der Geometrie alle Körper, die an einer Zykloide entlanggleiten, wie zum Beispiel mein Seifenstein, von jedem Punkt aus in der gleichen Zeit unten ankommen.
Bei Huygens ging es um die Frage, bei welcher Kurvenform die Schwingungsdauer unabhängig vom Auslenkwinkel wird. Huygens Zykloidenpendel war technisch aber nicht ausgereift. Erst 1839 baute der österreichische Ingenieur Stampfer in Lemberg eine Uhr mit funktionstüchtigem Zykloidenpendel (siehe Greiner, Theoretische Physik, Mechanik).
Zykloidenbögen werden auch für die Zahnflanken von Zahnrädern von Uhren verwendet (anstelle der sonst im Maschinenbau verwendeten Evolventen-Verzahnung):
http://www.schmuckunduhren.de/technik/zykloide.shtml
Fortsetzung folgt.
Gr. zg