Bitte :-)
Zitat:
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Zitat von Frank
Da ich mich auch etwas mit Schwingungstechnik, insbesondere mit Resonanzerscheinungen beschäftige, interessiert mich, ob es auch eine " 2.-beste" irrationale Zahl, bzw. allgemeine Regeln zum Aufstellen solcher Zahlen gibt, um Resonanzen z.B. in Mehrkörpersystemen möglichst zu vermeiden.
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Das ist eine ziemlich gute und interessante Frage. Aus dem Stehgreif kann ich diese zunaechst nicht beantworten. Es ist auch nicht so, dass Phi in allen Proportionen des Sonnensystems auftritt. Das kann auch gar nicht sein, denn sonst waeren zwei Proportionen wiederum ganzzahlige Vielfache voneinander.
Aber in einigen Verhaeltnissen findet sich Phi im Sonnensystem (Kann man auch mal googeln) Oder man betrachtet Keplers "Harmonices Mundi".
Im Dodekaeder ist mit Sicherheit der goldene Schnitt enthalten.
Ebenso im Isoader:
Dazu gibt es im Forum einen interessanten Thread. Wobei der Autor dort unter Keplers Weltharmonie eine musikalische Harmonie vermutet.
http://www.quanten.de/forum/showthre...&Demgegenueber
Da bin ich etwas skeptisch.
A)
Die musikalische Methode waere jedoch ein Ansatzpunkt um Einiges zu zeigen:
- Ob die "Quantitaet einer Irrarionalitaet" einen Sinn macht.
- Abschaetzungen fuer die zwoelfte Wurzel. f(n)=f0*2^(n/12)
- ...
Beispiel: Eine kleine Sekunde klingt disharmonischer als die Quinte =>
2^(1/12) ist irrationaler als 2^(7/12) ?
Das koennte sogar ziemlich spannend werden, denn wir verbinden hier ein qualitatives und quantitatives Maß.
B)
Die Fragestellung koennte man auch rein analytisch versuchen anzugehen. Den Link dazu habe ich hier schon dargestellt. Grundlage waeren die Kettenbrueche und der Satz von Liouville. Dazu muesste man die Beweisfuehrung aber erst noch einmal durchgehen. Und es ist mit massifen Problemen zu rechnen. Denn nicht alle irrationalen Zahlen sind von der einfachen Form [k,k,k,k,k,k....]
Transzendente Zahlen wie Pi folgen iterativen Funktionen f(k).
Um diese zu bestimmen muss man recht komplexe Verfahren anwenden. Z.B eine recht kniffelige Koordinatentransformation von Euler. Srinivasa Ramanujan war wie Euler ein Spezialist fuer Kettenbrueche und so sind wenigstens viele Abbildungen f(k) bekannt.
Allgemeine Saetze fuer Addition und Multipikation von Kettenbruechen gibt es dennoch leider bis heute nicht. Allerdings lassen sich die Koeffizienten auch stets numerisch berechnen. (Kleiner Programmcode auf meiner Webseite)
Vielleicht koennten wir fuer deine Fragestellung die irrationalen Zahlen nochmals einteilen (natuerlich in auch transzendete) und zunaechst in Unterklassen deine Frage beantworten.
i)
Unter der Klasse der konstanten Kettenbrueche, also quadratischen Gleichungen wuerde ich den Kettenbruch [2,2,2,2,2...] vorschlagen. (Nur eine Vermutung) Das waere eine einfache Uebeung und auf meiner Webseite habe ich auch schon eine allgemeine Loesung fuer die Kettenbrueche der Form [a0,k,k,k...] hergeleitet.
ii)
Interessante Kandidaten waeren auch Kettenbrueche der Form [k,l,l,l,l ...] oder [k,k,l,l,l,l ...] [k,k,k,l,l ...]. Ich denke diese koennte man mit gewissem Rechenaufwand noch handhaben. Ich hab gerade eine Idee parat, aber keinen wirklichen Trick. Du ?
Bei Kettenbruechen gibt es eine Problematik bezueglich der Reihenfolge. So waere [l,l,l,l ...k] wohl schwieriger zu handeln.
Dementsprechend waeren [2,1,1,1,1 .. ] und [1,1,1,1...2] geeignete Kandidaten.
Interessant waere es schliesslich zu vergleichen ob die musikalische Methode A) sich auch in der Kettenbruchmethode B) widerspiegelt. Mich interessiert das Thema. Aber dazu muss ich zunaechst diese Beweisfuehrung hier nochmals durchgehen.
http://home.arcor.de/richardon/richy...lden/index.htm
Man muss auch beachten, dass es meines Wissens nur eine Hypothese ist, dass die Kettenbruchentwicklung die effizienteste Approximationsmethode einer Zahl ist.
Letztdendlich gibt es in der Elektrotechnik tatsaechlich bereits Methoden um ueber die Kettenbruchentwicklung die Stabilitaet eines Systems zu beurteilen. Ebenso findet man bei Global Scaling einiges Material dazu. Wobei dieses nicht sonderlich vertrauenswuerdig ist. Vieles dort ist auch einfach falsch.
Gruesse