Hi
Zitat:
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Ich will ja nichts besseres Herleiten als Euklid.
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http://de.wikipedia.org/wiki/Euklids...t_von_Wurzel_2
Aber vielleicht etwas kuerzeres ? Die Frac Methode funktioniert auch fuer Wurzel 2 !
denn x=2+1/x hat die Loesungen
sqrt(2)+1 und 1-sqrt(2)
(allgemein hat x=a+1/x die Loesungen 1/2a +- 1/2 Sqrt(a^2+4))
Damit gilt frac(sqrt(2)+1)=frac(1/(sqrt(2)+1))
und damit laesst sich die frac Methode anwenden um zu zeigen, dass Sqrt(2)+1 und damit auch sqrt(2) irrational ist.
Uebrigends interessant, denn frac(sqrt(2)+1) = frac(sqrt(2))
Was bedeutet dies in der komplexen Ebene ?
Was kann ich mit der Erkenntnis noch anfangen ?
Zum Beispiel kann ich sofort anschreiben
Die Differenzengleichung x(k+1)=2+1/x(k),x0=1 konvergiert gegen 1+Wurzel(2)
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Das ist aber noch nicht alles.
Die rechte Seite der DzGL stellt einen Kettenbruch dar. Den kann man sukzessive vereinfachen und stellt dann fest, dass Nenner und Zaehler aus einer modifizierten Fibonacci Folge gebildet werden, naemlich :
fib2(k+2)=2*fib2(k+1)+fib2(k), fib2(0)=1 fib2(1)=1
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Hier ein paar Zahlenwerte :
y1 := 1
y2 := 1
y3 := 3
y4 := 7
y5 := 17
y6 := 41
y7 := 99
y8 := 239
y9 := 577
y10:= 1393 ....
Satz:
Der Grenzwert limit k->00, fib2(k+1)/fib2(k) konvergiert gegen 1+Wurzel(2)
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Beispielwerte :
Wurzel(2) etwa 4/3 = 1.333333
Wurzel(2) etwa 10/7 = 1.428571
Wurzel(2) etwa 24/17 = 1.411764
Wurzel(2) etwa 58/41 = 1.414634
Wurzel(2) etwa 140/99 = 1.414141
Wurzel(2) etwa 338/239 = 1.414225
Wurzel(2) etwa 816/577 = 1.414211
Wurzel(2) etwa 1970/1393 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 4756/3363 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 11482/8119 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 27720/19601 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 66922/47321 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 161564/114243 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 390050/275807 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 941664/665857 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 2273378/1607521 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 5488420/3880899 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 13250218/9369319 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 31988856/22619537 = 1.414213
Kann man natuerlich beliebig verlaengern.
Waere mal interessant wie mit dieser Approximation die Funktion frac(sqrt(2)*k))
aussieht. Genauso ein Vergleich mit dem Newtom Verfahren.
Was man nicht alles aus z^(m/n)-z0=0 herleiten kann :-)
Aber lauschen wir weiter den interessanten Beitraegen von Z.
Kann mir jemand Bescheid sagen, wenn er fertig ist
?
ciao