Keine Tips ?
Es gibt in Foren unzaehlige philosophische Theorien zur Zeit, dem Zeitpfeil und somit der Entropie und der Irreversibilitaet der Zeit. Nun kann man mit wenigen Programmzeilen pruefen ob die Irreversibilitaet eines diskreten nichtlinearen Vorganges nur in der Rechenungenauigkeit eines Digitalrechners begruendet liegt oder prinzipieller Natur ist. Informationen fuer die Reversibilitaet fehlen.
Also ich finde das spannend
Versuch 2
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Ich fuehre den Versuch 2 zunaechst mit der exakten symbolischen Berechnungsmethode durch :
> restart;
> s:=1/10; r:=20/10; N:=10; k:=0;
> for i from 0 to N do
> f[i]:=s
> s:=r*s*(1-s);
> od:
>
> for i from N to 2*N do
> s:=1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2));
> f[i]:=(s);
> od:
N=20, Startwert s= 0.1, r=2
Vorzeichen der Wurzel : Stets positiv
Ergebnis :
Es werden lediglich 10 Werte der 20 Werte dargestellt, da ab der 11 ten Iteration die Iterierte komplexwertig wird. Die Funktion kehrt nicht zum Startwert zurueck.
Rechnet man in Fliesskomma, wird die Iteration fuer die gegebenen Parameter nicht komplexwertig, sondern verbleibt (faelschlicherweise) auf dem Wert des Attraktors y[i]=0.5.
Warum ist dem so ? Was ist nun richtig ? Der Wert y[10]=0.5 ist trotz 99 Nachkommadigits falsch, denn man kann zeigen, dass sich fuer r=2 die Iteration dem Attraktor 0.5 asympthodisch naehert, diesen somit niemals erreicht.
Betrachtet man die Rueckwaertsiterierte, so sieht man , dass der Wurzelausdruck fuer r=2 und den Attraktor y[k+1]=0.5 gleich Null wird.
Der Attraktor(der nie erreicht wird) waere erreicht und damit ergibt sich das oben dargestellte falsche Bild. Die Iterierte muss bei der Rueckwaertiteration und positivem Vorzeichen der Wurzel komplexwertig werden.
Denn der Startwert der inversen Iteration ist kleiner als 0.5. Damit wird der Ausdruck unter der Wurzel zunaechst etwas groesser als Null sein. Bei positivem Vorzeichen wird der Wurzelanteil zu 1/2*r/r addiert und damit im naechsten Iterationsschritt das Argument der Wurzel negativ und diese Komplexwertig ! Es ist erstaunlich , dass Maple mit der symbolischen Rechnung diese minimalste Abweichung von 0.5 erfassen kann. Der Aufwand dafuer (den ich anhand eines einzelnen Wertes noch zeigen moechte) ist dementsprechend erheblich.
Es ist nun klargeworden, dass man zumindestens im ersten Iterationsschritt der inversen Iterierten das negative Wurzelvorzeichen verwenden muss. Waehlen wir einfach mal stets das negative Vorzeichen :
Statt
> s:=1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2));
nun
> s:=1/2/r*(r-(r^2-4*r*s)^(1/2));
Ergebnis :
(Anmerkung : Dieses Bild erhaelt man nur ueber symbolische, exakte Berechnung. Wie bereits beschrieben nimmt in Fliesskommadarstellung selbst mit 99 Digits Genauigkeit die Iterierte fuer i=10 den falschen Wert 0.5 an so dass das Wurzelargument gleich 0 wird.
Und 1/2+0=1/2-0=1/2)
Problem geloest ? Kein Informaionsverlust ? Oder ist das Zufall ?
r=2 ist ein ganz spezieller Wert der Verhulst Gleichung, fuer den die Gleichung auch analytisch loesbar ist. Es liegt somit ein Spezialfall vor. Interessant ist natuerlich die Frage welche Vorzeichenmuster die man auch als Bitmuster betrachten kann in den Faellen r<>2 zum Anfangswert zurueckfuehren.
Dass ein Informationsverlust auftritt und man das Vorzeichenmuster nicht aus dem aktuellen Iterationswert konstruieren kann zeigt folgendes einfachstes Beispiel :
Startwert : y[0]=-3
Iteration y[1]=y[0]^2=9
Iteration y[2]=y[1]^2=81
Weder aus dem Wert 81 noch dessen Vorgaenger 9 geht hervor, dass im zweiten Schritt der inversen Iteration das negative Vorzeichen gewaehlt werden muss um den Startwert -3 zu erhalten. Durch die Quadratur geht die Information ueber das Vorzeichen (im Bsp ein Bit) ganz einfach verloren. Das Betrachten der Verhulst Gleichung ist natuerlich dennoch nicht umsonst, denn das interessante ist die Frage, ob man jedem Parameter r ein Vorzeichen / Bitmuster zuordnen kann. So dass man ein Maß in Form eines verlorenen Informationsgehats, eine Entropie bestimmen koennte.
Die inverse Iterierte fuehrt zudem automatisch auf eine Betrachtung in der komplexen Ebene, die letztendlich zu der eigentuemlichen "Ergodizitaet" der inversen Iteration fuehrt.
Informationsverlust => nicht reversibel.