[TomS]

Zitat von eval

Die Zeitdilatation am EH geht also nur für einen Beobachter gegen ∞, der selbst auch wirklich unendlich weit weg ist?

Nein.

Bezeichne t ein beliebiges, auf einer Uhr abgelesenes Eigenzeitintervall eines Beobachters, der sich bei einem Radius r nahe dem EH befindet.

Dann folgt die Zeit T, die ein Beobachter im Abstand R > r diesem Eigenzeitintervall zuschreibt, aus einer Formel

t / T = f(r) / f(R)

mit einer Funktion f, die wir nicht im Detail benötigen.

Wenn r gegen den Schwarzschild-Radius geht, dann wird f(r) Null, T nach Umstellen der Formel unendlich. t bleibt jedoch fest, denn der Beobachter nahe dem EH bemerkt keine Veränderung in seinem eigenen Zeitablauf.

Dies ist der dich interessierende Effekt.

f(R) ist jedoch für R > r immer schön endlich. Es gilt außerdem

f(R = ∞) = 1

Damit kann man den hypothetischen, unendlich fernen Beobachter einführen:

t / T = f(r) / f(R) = [f(r) / f(∞)] · [f(∞) / f(R)]

Die erste Klammer beschreibt die Zeitdilatation für t aus Sicht des hypothetischen, unendlich fernen Beobachters, der zweite Term die (inverse) Zeitdilatation des hypothetischen, unendlich fernen Beobachters aus Sicht des tatsächlichen Beobachters bei R.

In vielen Darstellungen findet man nur die Zeitdilatation aufgrund des ersten Terms, d.h. aus Sicht des unendlich fernen Beobachters, also

t / T(∞) = f(r) / f(∞) = f(r)

In der Praxis benötigt man jedoch die zuvor genannte Zeitdilatation für endliches R < ∞.

Der Korrekturfaktor ist also gerade die zweite Klammer [f(∞) / f(R)]. Berechnet man nun z.B. die Zeitdilatation für einen Beobachter nahe dem (gedachten) EH unserer Sonne bei ca. r = 3 km aus Sicht eines Beobachters auf der Erdbahn mit Bahnradius R = 150 Mio km, so erhält man

f(∞) / f(R) = 1 / f(R) ≈ 1

in extrem guter Näherung. D.h. der Korrekturfaktor = die zweite Klammer spielen praktisch keine Rolle, und es gilt

T(R) ≈ T(∞)

Deswegen wird häufig immer nur mittels des unendlich fernen Beobachters argumentiert; der Fehler ist vernachlässigbar. Allerdings ist die Argumentation nicht ganz sauber, man müsste grundsätzlich zunächst die o.g. Rechnung durchgehen und die Näherung so rechtfertigen.

Es ist ganz interessant, die Berechnung mal für das Szenario des Schwarzen Lochs im Film Interstellar durchzuführen. Dabei ist r der Bahnradius des Planeten nahe am EH, R der Bahnradius des Raumschiffs und der unendlich ferne Beobachter entspräche z.B. der Erde. Da Kip Thorne wissenschaftlicher Berater war, sollten die Zahlen wohl stimmen ;-)