Die Nomenklatur mit Ψ ≈ exp(-β/r^3) stammt aus einer Zeit, in der ich mich eher an QM orientiert habe, aktuell:
https://zenodo.org/record/4408485 (dortige Gll. in Klammer)
Ψ ≈ e^v ist im Kaluza-Modell zu einem Bestandteil des Skalarterms Φ geworden (7):
Φ = (ρ/r)^2 e^v ≈ (ρ/r)^2 e^(ρ/r)^3
Für den Grundzustand (Elektron) gilt (50):
ρ_e^3 ≈ σ α_0 (e_c/ε_c)^3
# Der Term e_c/(ε_c r) = el. Potential folgt zwingend aus Kaluzas Ansatz. e_c, ε_c sind Elementarladung und elektrische Konstante in natürlichen Einheiten, so daß e_c in Energieeinheit angegeben wird => Partikelenergie = α^n * e_c (z.B. W_e ≈ α^-2 * e_c (64) )
# α_0 ~ α^9 ist der Quotient aus Energie(Elektron/Planck) und lässt sich herleiten aus der Forderung, dass der in der Reihenentwicklung der Energie (64) auf den EM-Term folgende Term (= gravitativ) nicht größer als der EM-Term werden darf.
Die Beziehung α_n+1 = α_n^1/3 (37)ff, die obiger Tabelle zugrundeliegt, liefert die weiteren Partikelterme (Achtung Potenzen in e^v und in Energieausdrücken unterscheiden sich, α_W,n = α_v,n^-1/3)
# Der Term σ hat den Übergang in ein Kaluza Modell weitgehend unverändert überlebt, denn σ ≈ (r_n/ρ_n)^3 ist verknüpft mit einem Partikelradius ( r_n ≈ λ_c) und lässt sich berechnen über die Forderung J ≡ 1/2 [ħ] (17).
D.h. hier gibt es noch einen direkten Anknüpfungspunkt an QM, wobei ich denke, dass man das über zirkular polarisierte EM-Wellen abbilden kann.
Zitat:
Zitat von reinhard
(sollte man nicht auch ein Minus vor der Wurzel in Betracht ziehen)?
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Die quadratische Form im Exponenten von Ψ stammt ursprünglich aus einem Fit und der Notwendigkeit, zur Berechnung des Drehimpuls einen definierten Partikelradius zu haben. Für die Berechnung der Energie reicht die vereinfachte Exponentialfunktion aus. Unter dem Aspekt, wie baut man σ und damit QM in den Kaluza-Formalismus ein, muss man hier bestimmt noch einmal hinschauen und den gesamten Ausdruck hinterfragen.