[Hamilton]

Das Problem liegt darin, dass die Polstelle genau auf der reellen Achse liegt, über die du ja integrieren willst. Wenn Du den Residuensatz anwenden willst, musst du deinen Pfad so wählen, dass die Polstelle im umschlossenen Gebiet landet, also könntest du ersatzhabler über lim ep. -> 0 {1/(x+epsilon i)} integrieren, was dem Problem wohl sehr nahe kommt, aber trotzdem nicht das gleiche ist, denn lim ep. -> 0 {1/(x-epsilon i)} schiebt den Pol aus dem Gebiet raus und das Integral ist 0.

Ein ganz anderer Ansatz, der rein im reellen funktioniert, aber etwas heuristisch ist, ist, dass Integrale von -a bis a über funktionen, die ungerade sind, also für die gilt f(x)=-f(-x) immer 0 sind, wenn sie denn überhaupt existieren. Nun kann man darüber nachgrübeln, ob -inf..inf ein symmetrisches Intervall ist und ob das integral über 1/x in einem solchen intervall existiert. Wenn ja, dann ist die Lösung jedenfalls 0.

Da mir solche Symmetrieüberlegungen immer ganz gut gefallen, ist meine Antwort auf diese Frage also: Die reelle Lösung ist jedenfalls 0 unter dem Vorbehalt, dass es eine Lösung gibt.