[Ich]

Zur Vierergeschwindigkeit:

Diese ist ein Vierervektor. Vektoren sind geometrische Objekte, die unabhängig von irgendwelchen Koordinatensystemen existieren. Das ist ein wichtiger Punkt. Die gesamte Physik wird heutzutage in solchen Objekten ausgedrückt, Skalare, Vektoren, Tensoren usw.
Diese Objekte ändern sich auch nicht, wenn man das Bezugssystem wechelt. Sondern nur ihre Koordinatendarstellung.

Wenn man ein beliebiges kartesisches Koordinatensystem wählt, dann sind die Komponenten der Vierergeschwindigkeit darin
dt/dtau
dx/dtau
dy/dtau
dz/dtau.
Wählt man ein anderes Bezugssystem, dann transformiert sich dieser Vektor genauso wie alle Vektoren - "kovariant" sagt man dazu. Geometrisch entspricht die Trafo einer Drehung.

Alle Vierergeschwindigkeiten sind gleichwertig. Es gibt keine, die in irgendeinem absoluten Sinne "in Zeitrichtung" zeigen und keine anderen, die das nicht tun. Sie zeigen einfach nur in verschiedene Richtungen, keine ist vor einer anderen ausgezeichnet. Das ist das Relativitätsprinzip, und das ist ungemein wichtig (ach!) in der Relativitätstheorie.

Diese andere Interpretation verhunzt das Ganze. Dort hat man "Geschwindigkeit in Zeitrichtung" und "Geschwindigkeit in Raumrichtung". Das ist nicht kovariant und folgt nicht dem Relativitätsprinzip, weil ich zuerst notwendigerweise willkürlich ein "Zeitrichtung", also ein Koordinatensystem, definieren muss. Dann haben wir
dtau/dt (Geschwindigkeit in Zeitrichtung)
dx/dt (...in Raumrichtung)
dy/dt
dz/dt.
Das ist kein Vierervektor und keine Vierergeschwindigkeit. Es sind bestimmte solche "Vierergeschwindigkeiten" ausgezeichnet, nämlich die, die zu Objekten gehören, die im gewählten Koordinatensystem ruhen. Das ist böse.

Noch schlimmer wird's wenn man diese Mathematik als (tau,x,y,z)-Koordinatensystem auffast, wie es die Interpretation aber geradezu fordert. Das funktioniert nämlich nicht, kann auch gar nicht funktionieren. Man lernt auch nichts Sinnvolles beim Versuch, sondern nur, dass es nicht geht.