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Alt 24.01.10, 14:27
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richy richy ist offline
Singularität
 
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Standard AW: goldener Schnitt-Raumstruktur

Blatt 2)

Das Guetekriterium ueber den Satz von Liouville war von der Form
r[n+1]*Nenner[n]^2. Im Grunde ist dies bereits ausreichend um die Klasse i) zu behandeln. Insbesonders wir der Nenner stets so gross sein, dass dieser fuer Vergleiche maßgeblich ist und nicht r[n+1].
Den Verlauf des Nenners koennen wir bereits ueber die Fib Zahlen bestimmen. =>
Je groesser r, umso groesser der Nenner.
Es wird sich zeigen, dass dies noch kein ausreichendes Kriterium ist und insbesonders Grenzwerte der Form y[k+1]=y[k]*r+s/y[k] betrachtet werden muessen.

Auf Blatt 2 wird nun ein noch schaerferes Kriterium vorgestellt :
http://home.arcor.de/richardon/richy...golden/gs2.gif
(8) |x-x_n|<const / q_n^K
An dieser Stelle wird K nun als eine weiteres Maß der Irrationalitaet aufgefaßt. Es zeigt sich (ohne Beweis), dass der Parameter k zu einer Klassifizierung herangezogen werden kann.

@ Frank
Die Klassifizierung wird deine Fragestellung einfach loesen.


Erlaeuterung zum Kriterium (8) :
(8) |x-x_n| < const / q_n^K
Die linke Seite stellt die Abweichung, Fehler der Approximation dar.
Ist dieser Fehler klein => Zahl ist wenig irrational
Ist dieser Fehler gross => Zahl ist sehr irrational

Druecken wir dies jetzt so aus :
const / q_n^k ist klein => Zahl ist wenig irrational
const / q_n^k ist gross => Zahl ist sehr irrational

Nun stelt sich heraus (ohne Beweis) , dass k in unmittelbarem Zusammenhang zur Form der Zahl x_n gehoert. Ist diese Loesung eines Polynomes des Grades N, so ist K=N die hoechstens beste Approximation.
Je groesser K wird, umso kleiner wir die rechte Seite der Fehler.
Und daraus folgt unmittelbar :

Die algebraischen Zahlen vom Grade "zwei" sind die irrationalesten aller Zahlen !

Ich finde dies ueberraschend. Bin auch noch nicht so ganz ueberzeugt davon, dass diese Aussage allgemein gueltig ist. Denn dem Parameter "Nenner" wird hier nicht Rechnung getragen. So koennte es doch durchaus sein, dass die Loesung eines bestimmten Polynoms dritter Ordnung irrationaler ist als eines Polynoms zweiter Ordnung.
Fuer den goldenen Schnitt ist die Aussage aber klar. Das ist die irrationalste aller Zahlen.
Die Klassifizierung ueber den Parameter K=N koennte einen Ansatz fuer die "musikalische" Klassifizierung liefern. Ich meine das wird noch sehr spannend.

Ge?ndert von richy (24.01.10 um 15:07 Uhr)
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