Atlantis hin oder her ... :-)
@Lambert
Naja sollen die Feuchtnasenaffen sich weiterhin austoben.
Deren Methoden gefallen mir nicht.
@Frank
Ja, ich erwarte, dass bei einem chaotischen Pendel die Pendellaengen und die Pendelmassen moeglichst irrational aufeinander abgestimmt sind. Es gibt da Freaks im www, die Anleitungen fuer ein moeglichst chaotisches, also disresonantes Pendel angeben.
Ich war / bin im Bereich der Akustik taetig. Da sind Resonanzen natuerlich auch ein Problem.
Man daempft die aber auch ganz gerne nachtraeglich aus, anstatt auf Dissonante Konstruktion zu achten.
Ein Dissonantes Element im Sonnensystem sind natuerlich auch die Ellipsen- statt Kreisbahnen.
Und Chaos bei einer Maschine klingt vielleicht negativ, aber ist natuerlich das beste Mittel um destruktive Resonanzen zu vermeiden.
Ich will versuchen die bisherigen Betrachtungen noch etwas weiter zu untersuchen. Zunaechst fuer N=K=2.
Insbesonders unter dem Aspekt wie die Reihenfolge der Zahlen unter der Wurzel weiter gemaess ihrer Irrationalitaet geordnet werden koennen.
Und ob sich hier eine Gesetzmaessigkeit erkennen laesst.
Bisher haben wir 5,2,3 ... Und als naechste Zahl wird sicherlich nicht 4 zu erwarten sein, denn Wurzel(4)=2
Es hat sich gezeigt, dass die Gleichung y=r+1/y nicht ausreichend ist, um alle wichtigen Wurzeln der quadratischen Polynome zu bestimmen.
So erhaelt man 1+Wurzel(3) z.B. aus dem Polynom (Attraktorgleichung) y=2+2/y
Es ist also y=r+s/y zu betrachten. Auf meiner Webseite gibt es dazu etwas Information, die aber noch nicht ausreichend ist :
http://home.arcor.de/richardon/richy...ytic/frac2.htm
Eine etwas schwierigere Aufgabe waere es fuer y=r+s/y die Kettenbruchkoeffzienten, Gewichte zu bestimmen. Dazu waere wohl schon die Euler Transformation notwendig. Vielleicht faellt mir noch ein Trick ein. Oder hat jemand eine Idee ?
Eine einfachere Aufgabe :
******************
Wie bestimmt sich nun der Nenner des approximierenden Bruches ?
Diesmal der schnelle Weg :
Wir wissen : y[n+1]=r+s/y[n] ist eine Substitution des Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen. Damit laesst sich unmittelbar anschreiben :
Nenner[k+2]=Nenner[k+1]*r+s/Nenner[k]
*******************************
Die Groesse des Nenners steigt nun sowohl ueber r und s.
Je groesser der Nenner, umso weniger irrational die Zahl.
Ein Test ob wir auf dem richtigen Weg sind :
*********************************
Ein Vergleich der folgenden Wurzeln / Attraktoren :
y[k+1]=2+1/y[k]
Kettenbruch=[2,2,2,2,2,.....]
Loesung : 1+-Wurzel(2)
y[k+1]=2+2/y[k]
Kettenbruch=[2,1,2,1,2,.....]
Loesung : 1+-Wurzel(3)
y[k+1]=3+1/y[k]
Kettenbruch=[3,3,3,3,3,.....]
Loesung : 3+-Wurzel(13)
y[k+1]=1+3/y[k]
Kettenbruch=[?,.....]
Loesung : 1+-Wurzel(13)
Mich erstaunt hier, dass die Gewichte [2,1,2,1,2,.....] doch offenbar in der Summe kleiner sind als die Gewichte [2,2,2,2,2,.....], aber dennoch die Gewichte [2,2,2,2,2,.....] eine irrationalere Zahl (1+-Wurzel(2)) darstellen.
Numerische Bestimmung des Nenners ueber die allg. Fib Folge :
Zitat:
Skizze Quellcode
... Initialisieren ...
for k from 1 to 15 do
> fA[k+1]:=2*fA[k]+fA[k-1];
> fB[k+1]:=2*fB[k]+2*fB[k-1];
> fC[k+1]:=3*fC[k]+fC[k-1];
> fD[k+1]:=fD[k]+3*fD[k-1];
> od:
> for k from 1 to 15 do
> printf(`A=%9d B=%9d C=%9d D=%9d \n`,fA[k],fB[k],fC[k],fD[k]);
> od;
|
Ausdruck :
Diskussion :
Es ergibt sich fuer A,B,C die erwartete Reihenfolge.
Nicht jedoch fuer D !
Delbst dann wenn man gemaess Liouville das Ergebnis mit dem Gewicht r[n] multipliziert, liefert D stest kleinere Werte als A.
Hat sich der Autor geirrt ?
Demnach waere die Klasse (1+Wurzel(13))/2 und nicht 1+-Wurzel(2) die zweitirrationalste Klasse.
Das muss ich noch genauer pruefen.