[richy]

Das letzte Ergebnis kann man auch sehr viel einfacher erhalten, indem man in der Ausgangsgleichung vom quadratischen Teil einen Faktor x(n) durch x(n-1) ausdrueckt.

Beispiel :

x(n+1)=x(n)^2
x(n+1)=x(n)*x(n)
x(n)=x(n-1)^2
x(n+1)=x(n)*x(n-1)^2

Da der Faktor x(n-1)^2 stets positiv ist muss nun auch x(n) stets positiv sein.

x(n+1)=|x(n)|*x(n-1)^2
*****************

Diese Verkettung kann man auch sukzessive weiterfuehren

x(n+1)=|x(n)|*|x(n-1)|*|x(n-2)|*|x(n-3)|....|x(1)|*x(0)^2

Damit laesst sich zum Beispiel der Ljapunovexponent genauer abschaetzen.
Ebenso koennte die Produktbildung als Grundlage fuer ein Loesungsverfahren dienen.


Anwenden auf den chaotischen Fall :
(nur eine Testrechnung)

x(n+1)=2*x(n)^2-1
x(n+1)+1=2*x(n)^2
x(n+1)+1=2*|x(n)|*(2*x(n-1)^2-1)

x(n+1)=2*x(n)*(2*x(n-1)^2-1)-1
**************************

Hier darf kein Betrag verwendet werden.

> v[0]:=0.1;
> f[0]:=v[0]; f[1]:=2*v[0]^2-1;

> for n from 0 to 50 do
> v[n+1]:=2*v[n]^2-1;
> f[n+2]:=4*(f[n+1])*f[n]^2-2*f[n+1]-1;
> od:
> druck:=seq([i,f[i]],i=0..100):
> druckv:=seq([i,v[i]],i=0..100):
>
> plot([druck,druckv]);

Dei Vergleichsgroessen weichen nach ca 40 Iterationen voneinander ab
Mit dem Ausdruck
f[n+2]:=2*(f[n+1])*(2*f[n]^2-1)-1;
nach etwa 100 Iterationen


SUKZESSIVE TEILVERKETTUNG:

x(n+1)+1=2*x(n)*2*x(n-1)^2 - 2*x(n)
x(n+1)+1+ 2*x(n)=2*x(n)*2*x(n-1)^2
x(n+1)+1+2*x(n)=2*x(n)*2*x(n-1)* (2*x(n-2)^2-1)
x(n+1)+1+2*x(n)+2*x(n)*2*x(n-1)=2*x(n)*2*x(n-1)* (2*x(n-2)^2)
x(n+1)+1+2*x(n)+2*x(n)*2*x(n-1)=2*x(n)*2*x(n-1)*2*x(n-2)*x(n-2)
x(n+1)+1+2*x(n)+2*x(n)*2*x(n-1)=2*x(n)*2*x(n-1)*2*x(n-2)*(2*x(n-3)^2-1)

x(n+1)+1 + 2*x(n) + 2*x(n)*2*x(n-1) + 2*x(n)*2*x(n-1)*2*x(n-2) =
2*x(n)*2*x(n-1)*2*x(n-2)*2*x(n-3)^2