Zitat:
|
Aber die Zunahme der Windungszahl pro Längeneinheit, ist das nicht eine Fib-Reihe?
|
Das haengt von der Gleichung eurer Spirale ab.
Ich hatte ja bereits bemerkt, da es hier wenigstens einen optischen, qualitativen Zusammenhang gibt. Dem, dass die Wellenlaenge sich kontinuierlich aendert.
Aber ich denke das ist auch alles. Es muss da keinen Zusammenhang zu den Fibonacci Zahlen geben.
Schau dir das Bild und die hergeleiteten Formeln auf meiner Seite einfach nochmal an :
Was ist hier dargestellt ?
Die Fibonacci Zahlen in der komplexen Ebene.
Warum in der komplexen Ebene ? Weil die Fibonacci Zahlen zunaechst nur fuer ganzzahlige Argumente k>0 definiert sind.
Ich habe diese jedoch um nichtganzzahlige und negative Werte erweitert.
Anhand der hergeleiteten Loesung der Differenzengleichung.
Sind die Argumente nicht ganzzahlig so werden diese erweiterten Fibonacci Zahlen komlexwertig.
Diese lautet fuer Real und Imaginaerteil
Realteil: 1/sqrt(5)*( exp(-k*ln(gt)) - exp(k*ln(gt)*cos(k*PI) ) )
Imaginaerteil: - 1/sqrt(5)*exp(k*ln(gt)*sin(k*PI) )
Dabei ist gt eine Form des goldenen Schnittes : gt = theta =0.681
k ist die Laufvariable, die bei den normalen Fibonacci Zahlen ganzzahlig waere. Man sieht dass der Imaginaerteil dann gleich Null ist.
In der Grafik beginnt die Laufvariable bei negativen Werten. Fuer k<0 ergibt sich ueberhaupt nur die Fib Spirale.
Gehen wir mal zum Punkt 0 und verfolgen den weiteren Verlauf der verallgemeinerten Fib Werte. Wandern hinueber zu Realteil =1.
Da passiert etwas lustiges, das man leider nur schlecht sieht :
Die Funkton dreht ein kleines Schleifchen.
Das muss so sein ! Denn die Fib Zahlen beginnen mit 1 1 2 3 5 ..
Der Wert 1 wird mit dem Schleifchen 2 mal durchlaufen.
Folgt man der Kurve weiter, so sieht man, dass die Achse des Realteils jeweils bei den "normalen" Fib Zahlen geschnitten wird.
Der naechste nichtdargestelle Schnittpunkt waere also beim Wert acht.
Allerdings sinkt dabei die Amplitude des Imaginaerteiles exponentiell.
Dieses Dehnen der Wellenlaenge ist die Gemeinsakeit mit eurer Funktion.
Man koennte auch fuer beliebige Schnittpunke umgekehrt die zugehoerige Differentialgleichung ermitteln.
Aber eure Funktion scheint nicht exponentiell gedaempft. Sie ist in der Amplitude konstant. Daher bleibt eigentlich nichts uebrig bei dem Vergleich. Es war nur ein spontaner Einfall meinerseits wegen der Spralform.
Welcher DGL genuegt eigentlich eure Spirale ?
So sehen die verallgemeinerten Fib Zahlen fuer positive k in der komplexen Ebene aus :
1,1,2,3,5,8,13 ...