Zitat:
Zitat von TomS
(1) und (2) klingen nach endlich-dimensionalen Erweiterungskörpern von C, von denen wir wissen, dass die nicht existieren;
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Ich hab dazu folgendes gefunden:
https://www.math.uni-sb.de/ag/wittst...is2/Kap3_4.pdf
S. 93 bzw. S. 309:
Zitat:
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Satz 3.4.149 (C algebraisch abgeschlossen) Es gibt keinen echten endlichen Erweiterungskörper von C.
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Der Beweis ist:
Zitat:
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Da P(w) = 0 ist, verschwindet einer der Faktoren w−zκ. Also ist w ∈ C.
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Das versteh ich noch nicht ganz (vielleicht hast du auch eine bessere Quelle).
Auch wenn gilt, dass in diesem Fall w−zκ=0 ist, und damit w=zκ , heisst das nicht, dass w element von C sein muss. Z.B. gilt i² = -1 und auch i²+1 = 0, deshalb ist aber nicht i² Element der Reellen Zahlen (nur weil +1 eine Reelle Zahl ist.)
Beispiel: (r := Reelle Zahl, i := Imaginäre Zahl, k := Körperzahl.)
r² + i² = 0
r³ + i³ + k³ = 0
Für r³ = 0:
k³ = -i³ = i
=> r³ + i³ + k³ = 0
Für i³ = 0:
k³ = -r³
=> r³ + i³ + k³ = 0
Da für k³ andere Gesetze gelten wie für i³ und r³, kann weder i³ noch r³ die Körperzahl k³ ersetzen.
Irgendwas versteh ich das grad nicht. Kannst du das mal mit deinen Worten erklären, Tom?