Zitat:
Zitat von Zweifels
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In diesem und in den nächsten Abschnitten
1. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, daß C der einzige endliche Erweiterungskörper von R ist.
2. Die rationalen Funktionen mit reellen Koeffizienten bilden einen unendlich- dimensionalen Erweiterungskörper von R.
Satz 3.4.151 (Einzigkeit von C)
Es sei K ein echter Erweiterungsköper der reellen Zahlen, so daß
dimR K = n ∈ N ist. Dann ist n = 2 und K ist isomorph zu C.
steht etwas verklausuliert, dass keine endlich-dimensionale Körpererweiterung zu C existiert.
Zu R gibt es genau eine endlich-dimensionale Körpererweiterung, nämlich C.
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Divisionsalgebra
Jeder Körper über R ist eine Divisionsalgebra (Addition, Multiplikation, Division, Eins-Element). Aber nicht jede Divisionsalgebra ist auch ein Körper (insbs. fehlende Kommutativität). Offenbar gibt es genau vier dieser Divisionsalgebren über R, nämlich R, C, H, O. Da jedoch H und O keine Körper sind, bleiben als solche nur R und C.