Wurzelfreie Herleitung des Kreises durch das Quadrat
Tag Leute,
ich war sehr lange weg.
Im Sinne von richy's gelegentlichem Credo: "shut up and calculate" hab ich mir Zeit gelassen,
um -neben dem eigentlichen Leben- schrittweise zu rechnen:
Ergebnis:
Der trigonometrische x- Faktor
Exakte Herleitung von Kreispunkten
ohne Wurzelfunktion:
Namensgebung:
..........x = x-Faktor, a und b = Koordinaten (a|b) des Einheitskreises
Berechnung:
x-Faktor:
..........x = frei wählbar (>1)
Exakte Startwerte für die Reihenberechnung der Kreispunkte
..........a(1) = (x²-1) / (x²+1)
..........b(1) = (2x) / (x²+1)
Iteration exakter Kreispunkte:
..........a(n+1) = a(n) * a(1) – b(n) * b(1)
..........b(n+1) = a(n) * b(1) + b(n) * a(1)
Ergebnisse,
bei x = 5:
bei x = 20:
Durch Ausprobieren stellte sich heraus,
dass bei x = 114,5886501293 für MS-Excel der ideale Wert entsteht,
um pro Iterationsschritt auch die Sinus- und Kosinuswerte für 1°-360°
auf mehrere Kommastellen genau zu berechnen !
bei x = 114,5886501293:
Gesamt gesehen sieht das Ergebnis mager aus, für ca. 8 Monate Rechenzeit,
(wenn mal Zeit war, zu calculaten), die Zwischenergebnisse waren reichlich.
Was hier steht war auch vor 9 Monaten schon bekannt,
wurde allerdings von mir nicht in dieser Reihenfolge angewandt und vorgeschlagen.
Der x-Faktor ergab sich aus a²+b²=c² mit c=1:
....(1-a) * x = b = (1+a)/x
=> x = Wurzel((1+a)/(1-a))
=> ....
a = (x²-1)/(x²+1)
und ...
b=(2x)/x²+1)
Geometrisch steht x für die Steigung der Sehne, die ein rechtwinkliges Dreieck in einem Einheitskreis
als einen Kreisbabschnitt bildet (x = b / 1-a).
Bild:
(c bzw. r = 1)
bdmnxt
Merman