[richy]

Hi Eugen

Klar habe ich nichts dagegen, wenn du den Thread umbenennst. Das Kuerzel "Mathe" wuerde fuer die Suchfunktion wohl schon ausreichen. Ich habe noch eine andere Idee. Ich koennte einfach einen Thread z.B. "Matheindex" erstellen in dem ich zunaechst mal Links zu alten Threads mit "mathematischem" Inhalt von allen Teilnehmern sammle. Den kann man immer aktualisieren und wenn es wirklich mal eine eigene Rubrik dafuer gaebe, waere es sehr einfach bisherige Threads dorthin zu verschieben. Wobei der Ausdruck "Mathematik" meiner Meinung uebertrieben waere . "Mathematische Plauderecke" waere angemessener. Aufgrund der Schroederschen Funktionalgleichung habe ich im www etwas gegoogelt. Es waere wie vermutet tatsaechlich eine falsche Vorstellung, dass im Bereich der Chaostheorie besser nichtlinearen Systemdynamik die Forschungsarbeit nachgelassen haette. Es hat lediglich das oeffentliche Interesse daran nachgelassen. Das finde ich irgendwie schade, weil es damit auch kaum Quellen zu neueren Ergebnissen gibt, die diese leicht verstaendlich widergeben. Leider bin ich kein Mathematiker, so dass ich den theoretischen Abhandlungen derselben in deren Sprache leider auch nicht folgen kann. Dem Sinn der "Schroeders Equation" kann ich gerade noch folgen, weil ich die Loesungen auf anderem vereinfachtem Weg mittels Substitution hergeleitet habe :
http://home.arcor.de/richardon/richy...010/lsgana.htm
Die Ascii Formelschreibweise mag ein wenig abschrecken, aber es handelt sich tatsaechlich lediglich um eine Substitution. Die einzigste Schwierigkeit besteht darin eine solche zu finden, so dass die Differenzengleichung in der neuen Variablen linearisiert ist.

WICHTIG FUER DAS VERSTAENDNIS
Die oben genannte Schwierigkeit hatte ich bereits zuvor auf ganz anderem Wege geloest. Mittels einer einfachen graphischen Anschauung die fuer r=2 zur Loesung der logistischen Gleichung fuehrt. Man benoetigt hierzu lediglich den Fundamentalsatz der Algebra :

In der Form, dass jedes Polynom vom Grad n :
p(x,n)=a_n*x^n+a_n-1*x^(n-1)...+a2*x^2+a1*x+a0
ueber seine n Nullstellen/Wurzeln darstellbar ist in der Form
p(x,n)=c*(x-xn)...*(x-x2)*(x-x1)
Das ist Schulmathematik.

Noch leichter laesst sich ueberlegen, dass sich mittels einer "Koordinatentransformation" ein Polynom beliebig horizontal verschieben laesst. p'(x)=p(x)-k
Damit ist jedes Polynom ueber die Schnittpunkte mit einer beliebigen Konstanten g(x)=konstant (Paralelle zur x Achse) eindeutig bestimmt.
Mehr benoetigt man nicht um die logistische Gleichung fuer den Fall r=2 zu loesen. Reine Schulmathematik.

Die logistische Abbildung lautet :
y(n+1)=r*y(n)*(1-y(n))=r*y(n)-r*y(n)^2
mit folgendem wichtigem Zusatz : y(0)=[0..1]

Es handelt sich somit nicht um eine eindimensionale Aufgabenstellung fuer die (zeitliche, diskrete ) Variable n, sondern die Iteration kann natuerlich fuer beliebige Startwerte y(0) aus dem Intervall [0..1] durchgefueht werden. Das erscheint zunaechst trivial, aber es ist selbstverstaendlich, dass keine spezielle Loesung fuer ein spezielles y(0) gesucht ist, sondern eine Loesung fuer alle Startwerte. y(0) darf somit nicht als ein einzelner Punkt betrachtet werden, sondern stellt selbst schon eine "Funktion" dar. Indem y(0) alle Anfangswerte repraesentiert.
y(n+1,y(0))=r*y(n,y(0))*(1-y(n,y(0)))=r*y(n,y(0))-r*y(n,y(0))^2

Eine Iteration laesst sich somit zweidimensional allgemein charakterisieren als :
y(n+1,y(0))=h(y(n,y(0))
Als Repraesentant aller Anfangswerte stellt y(0) vereinfacht die 45 Grad Linie dar. Das Start-Polynom 1 ter Ordnung. Auf diesem Prinzip basieren die meisten mathematische Betrachtungen.
Im folgenden moechte ich auch auf diesem Prizip aufbauen um die Betrachtung nicht unnoetig zu verkomplizieren.

Betrachten wir einfach die Polynome der klassischen logistischen Abbildung p(n+1)=F(p(n)). Wir sehen, dass deren Grad in jedem Iterationsschritt verdoppelt wird. Welche Schnittgerade wir auch waehlen, wir koennen fuer die Schnittpunkte und damit fuer die Synthese des Polynoms kein Gesetz einfach herleiten. Ausgenommen fuer den Fall r=2 ! :



Die Grafik ist im Prinzip selbsterklaerend und der "Nachweis", dass das Polynom die Gerade y=1/2 genau in einem Punkt schneidet ist recht einfach :
http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/lsg2.htm

Ich selbst z.B. könnte mit dir nicht auf gleicher mathematischer Augenhöhe diskutieren.

Das ist quatsch. Obiges ist Schulmathematik.
Die logistische Abbildung erzeugt fuer r=2 Polynome, die die Konstante y=1/2 stets im Punkt 1/2 schneidet und sonst in keinem andern. D.h. ein Polynom der Ordnung n tangiert diese Konstante mit der Vielfachheit n. Und damit hat dieses Polynom eine Form p(n)=c*(x-1/2)^(2^n)
Und damit laesst sich die logistische Gleichung fuer den Fall r=2 mit Schulmathematik einfach loesen.

Ok, darauf muss man auch erstmal kommen, aber wirklich kompliziert ist das nicht. Wie bin ich dann weiter vorgegangen ? Im Forum hier habe ich letztes Jahr versucht rein formal Loesungsmethoden von Differentialgleichungen auf Differenzengleichungen zu uebertragen. Dabei wird man sehr schnell erkennen, dass dies einem Vergleich von Aepfeln mit Birnen gleichkommt.
Ebenso verhaelt sich eine diskretisierte Raumzeit zu einer kontinuierlichen Raumzeit.
Dann habe ich einfach mal ausprobiert welche formalen Vereinfachungen sich in der logistischen Gleichung fuer den Fall r=2 mittels Substitution ergeben.
Dies fuehrt zu der extrem komprimierten einfachen Loesung mittels Substitution die ich auf meiner Webseite dargestellt habe. Dann bin ich auf Wolframs Loesung fuer den Fall r=4 gestossen. Den kann man ebenfalls analytisch mittels Substitution erklaeren. Aber es steckt wohl noch sehr viel mehr dahinter.

Ich gehe hier somit rueckwaerts vor. Vom anschaulichen mir noch zugaenglichen hin zum mathematisch abstrakten.


Schroedingers Equation :
F(h(y)) = s*F(y)

laesst sich umschreiben zu

F(h(y))
------- = s, wobei s wohl einen Parameter darstellt
F(y)

Ueber die Bedeutung von h(y) oderr h(x) gibt folgendes Zitat Auskunft :

More specifically, a system for which a discrete unit time step amounts to x → h(x), can have its smooth orbit (or flow) reconstructed from the solution of the above Schröder's equation

Repraesentiert y(n) einen Systemzustand zum Zeitpunkt n, so beschreibt h(y(n)) den Systemzustand zum Zeitpunkt n+1 : h(y(n))=y(n+1)
h(y(n)) waere somit die Uebertragungsfunktion der Iteration.


F(y(n+1))
----------- = s
F(y(n))

(die Loesung ist dann einfach F(y(n))=y(0)*s^n)

Wie man einfach sieht habe ich genau diese Form mittels geeigneter Substitution in meinem Loesungsbeispiel (r=2) erzeugt.

ln(1-2*y(k+1))
----------------- =2
ln(1-2*y(k))


Tatsaechlich fuehrt die Substitution auf die Schroedinger Funktionalgleichung. Fuer die logistische Abbildung mit r=2 mit F(y)=ln(1-2*y)