[richy]

Ich moechte mich nochmals mit dem Algorithmus von Wilson beschaeftigen, der alle Primzahlen erzeugt.
http://www.quanten.de/forum/showthre...?t=1257&page=4
Ausserdem moechte ich mich von Emotionallogik und Internet Physikkriegen erholen.

Bei Wilson geht es mir weniger um die Primzahlen sondern den frac Operator und die Fakultaet. Laesst sich hier eventuell eine Regel fuer den Frac Operator herleiten ?
Dazu moechte ich meine schnelle Beweisfuehrung des notwendigen Teils von Wilsons Primzahlsatz nochmals darstellen.

Meine Beweisfuehrung basiert auf Hilfssaetzen, die man aus folgendem wichtigen Satz herleiten kann :

Fundamentalsatz 1)

Besitzen zwei natuerliche Zahlen a und b keine gemeinsamen Primfaktoren, so besitzt auch die Summe dieser Zahlen:
s = a + b weder mit a und b einen gemeinsamen Primfaktor !

Widerspruchsbeweis :
Gegeben seien die natuerlichen Zahlen a und b sowie deren Summe s=a+b
Voraussetzung :
**************
a und b sollen keinen gemeinsamen Primfaktor aufweisen
Widerspruchs-Annahme :
*******************
s habe einen gemeinsamen Primfaktor k mit a oder b
Dann laesst sich s schreiben als s=k*S (wobei S=s/k und ganzzahlig ist)
Sei a die Zahl mit dem Primfaktor k entsprechend a=k*A

Dann laesst sich aber b=s-a schreiben als b=k*S-k*A=k*(S-A)
Und damit enthielte auch b den Primfaktor k
Das widerspricht aber der Voraussetzung.
Daher kann c weder mit a noch b einen gemeinsamen Primfaktor aufweisen,
wenn auch a und b keinen gemeinsamen Primfaktor aufweisen.


Hilfsmittel Primorial (Primzahlfakultaet) :
*****************************

Für eine natürliche Zahl n ist das Primorial n# definiert als das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich n.
http://de.wikipedia.org/wiki/Primorial
Beispiel : 5#=2*3*5

Satz 4) Herleitung in gesondertem Beitrag

Jede Fakultaet k! laesst sich in einen Faktor m sowie ein Primorial p# aufspalten : k! =p#*m, wobei p der groesste Primfaktor von k! darstellt und m das Produkt der Nichtprimfaktoren.
m enthaelt dann in allen Faellen keine Primfaktoren die groesser als p sind.

Der Beweis zu Wilsons Primzahlsatz benoetigt spezielle Anwendung von Satz 1) auf Primorials und Fakultaeten. Ich moechte eine wichtige Anwendung Satz 2) an einem Beipiel herleiten :

Schneller Beweis (Schneller als Euklid) : Es existieren unendlich viele Primzahlen.
************************************************** *********
Man betrachte
n#=2*3*5 ...*n
sowie S=n#+1. S kann wegen Satz 1 keine Primfaktoren von n# aufweisen. Auch wenn S zusammengesetzt ist, so muss dessen kleinester Primfaktor daher groesser als n sein. Damit existiert zu jedem Primorial n# und damit zu jeder Primzahl n eine Primzahl n1 die groesser als n ist. =>
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
*************************
(Der Beweis wuerde auch mit der Fakultaet einer Primzahl funktionieren, siehe Satz 4)
Euklids Beweis enthaelt einen Spezialfall von Satz 1, aber die getrennte Formulierung halte ich fuer anschaulicher. Kennt man Satz 1, gibt es keinen schnelleren Beweis.
=>
Satz 2)

Bildet man ein Primorial p#, so folgt aus Satz 1), dass der kleinste Primfaktor von p#+1 groesser als p sein muss.
Mit Satz 4)
Bildet man eine Fakultaet k!, so folgt aus Satz 1), dass der kleinste Primfaktor von k!+1 groesser als der groesste Primfaktor von k! sein muss.

Satz 3) Herleitung in gesondertem Beitrag

p(n) sei die n te Primzahl
Wenn p(n)#+1 eine zusammengesetze Zahl ist, dann ist die kleinstmoegliche Zahl, die fuer p(n)#+1 in Frage kommt das Quadrat der auf p(n) folgenden Primzahl also p(n+1)^2

p(n)#+1>=p(n+1)^2 (nichtprim)
p(n)#+1>=p(n+1) (prim)