[richy]

Groesse Zusammenfassung
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Hilfsmittel Primorial (Primzahlfakultaet) :
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Für eine natürliche Zahl n ist das Primorial n# definiert als das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich n.
http://de.wikipedia.org/wiki/Primorial
Beispiel : 5#=2*3*5

Hauptsatz 1)

Besitzen zwei natuerliche Zahlen a und b keine gemeinsamen Primfaktoren, so besitzt auch die Summe dieser Zahlen:
s = a + b weder mit a und b einen gemeinsamen Primfaktor !

Satz 4)

Jede Fakultaet k! laesst sich in einen Faktor m sowie ein Primorial p# aufspalten : k! =p#*m, wobei p der groesste Primfaktor von k! darstellt und m das Produkt der Nichtprimfaktoren.
m enthaelt dann in allen Faellen keine Primfaktoren die groesser als p sind.

Satz 2 a)

Bildet man ein Primorial p#, so ist der kleinste Primfaktor von p#+1 groesser als p

Satz 2 b)

Bildet man eine Fakultaet k!, so ist der kleinste Primfaktor von k!+1 groesser als der groesste Primfaktor von k!

Satz 3a)

p(n) sei die n-te Primzahl
Wenn p(n)#+1 eine Primzahl ist, dann gilt : p(n)#+1>=p(n+1)
Wenn p(n)#+1 keine Primzahl ist, dann gilt : p(n)#+1>=p(n+1)^2

Satz 3b)

p(n) sei die n-te Primzahl und groesster Primfaktor von k !
Wenn k!+1 eine Primzahl ist,dann gilt : k!+1>=p(n+1)
Wenn k!+1 keine Primzahl ist,dann gilt : k!+1>=p(n+1)^2
da p(n+1)>k gilt auch k!+1>k^2 falls k!+1 keine Primzahl ist (und immer fuer k>4)

Primzahlsatz von Wilson :

Satz i) Ist p eine Primzahl, dann ist [1+(p-1)!] / p eine ganze Zahl.
Satz ii) Wenn (p-1)!+1 / p ohne Rest teilbar ist, dann ist p keine zusammengesetzte Zahl

Programmcode :

> for p from 1 to 1000 do
> if frac(((1+(p-1)!)/p))=0 then printf(`%g `,p);fi;od

Verifikation :
Aussage A1 :

p(n) sei die n-te Primzahl.
p(n)-1 muss keine Prinzahl sein und ist kleiner als p(n)
In (p(n)-1)! ist daher der Primfaktor p(n) nicht enthalten sondern der groesste Primfaktor von (p(n)-1)! ist p(n-1), auch wenn p(n)-1 keine Primzahl ist. (p(n)-1)!=p(n-1)#*m

(Satz 4 : Auch in m kann p(n) nicht enthalten sein, denn dann waere die zusammengesetzte Zahl groesser p(n-1))

Wegen Satz 2) sind alle Primfaktoren von (p(n)-1)!+1 groesser gleich p(n)

=> Fuer eine Primzahl kann Satz ii erfuellt werden

Aussage A2 (Widerpruchsbeweis)

p(n) sei die n-te Primzahl.

k=p(n)+z, mit 0<z< p(n+1)
k-1 ist die Zahl p(n)+(z-1) und kleiner als k
k-1 kann sowohl prim als auch nichtprim sein.
Der groesste Primfaktor von (k-1)! in beiden Faellen ist p(n) (Satz 4)
Wegen Satz 2b) sind alle Primfaktoren von (k-1)!+1 groesser gleich p(n+1)
da p(n+1)>k
Wegen Satz 2b) sind alle Primfaktoren von (k-1)!+1 groesser k

=>
Alle Primfaktoren von (k-1)!+1 sind groesser gleich p(n+1)
Da gilt p(n+1)>k, kann k keinen dieser Primfaktoren kuerzen.
Damit ist Satz ii gezeigt.