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Alt 21.01.10, 00:18
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richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
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Standard AW: goldener Schnitt-Raumstruktur

Will niemand Antworten ?
Ich denke die Raumstruktur spielt hier weniger eine Rolle.
Im Fuenfeck kommt natuerlich der goldene Schnitt vor.
Aber ob das Fuenfeck in einer Raumstruktur vorkommt weiss man nicht.
Man weiss gar nicht ob es eine solche gibt. Dazu muesste der Raum natuerlich quantisiert sein. Meiner Meinung nach ist er das. Er muss es aber nicht sein.

Der Zahlenwert g=Phi wird oft unterschaetzt. Und dass er in der Physik so selten vorkommt ist ein Zeichen dafuer, dass die Physik teilweise noch am Anfang steht.

Der goldene Schnitt hat unzaehlige spezielle Eigenschaften. Sowohl in der Mathematik, der Natur, also der realen, nicht abstrahierten Physik, sowie den Kuensten, der Kosmologie, der Biologie ...
PHI ist allgegenwaertig, verbindet alle Diszipinen und fuer jedes Themengebiet kann man eine andere spezielle Eigenschaft hervorheben.

Was ist nun aber das besondere an diesem Zahlenwert ?
Meine Antwort waere recht eindeutig und basiert auf dem mathematischen Aspekt :
Der goldene Schnitt ist diejenige irrationale Zahl, die in einer Bruchdarstellung am schlechtesten gegen den exakten Wert konvergiert. (Das laesst sich mathematisch herleiten) Man kann dies auch so formulieren, dass der goldene Schnitt diesbezueglich die irrationalste aller Zahlen ist.
Das ist fuer mich die fundamentalste Eigenschaft des goldenen Schnittes.

Diese Besonderheit spiegelt sich auch in dessen Kettenbruchdarstellung wieder (1,1,1,1,1,.........)
http://home.arcor.de/richardon/richy...lden/index.htm
Dies hat physikalisch Auswirkung auf Systemresonanzen. Die der goldene Schnitt vermeidet und so als Antiresonator Systeme stabilisiert. Z.B. Mehrkoerpersysteme wie unser schoenes Sonnensystem.
Die natuerlichen Zahlen sind physikalisch gesehen Resonatoren.
Das Zusammenspiel zwischen Resonatoren und Antiresonatoren, Chaos und Ordnung bildet eine fraktale Grenzschicht. Auf dieser spielt sich alles Leben im Universum ab. Jenseits des thermodynamischen Geichgewichts.

Das ist aber natuerlich noch lange nicht alles.
Als zweitwichtigste Eigenschaft wuerde ich die Rolle von Phi in den Fibonacci Zahlen nennen.
Der Quotient zweier wachsenden aufeinanderfolgenden Fib Zahlen konvergiert gegen den goldenen Schnitt. Sind die Fib Zahlen daher so fundemantal ? oder umgekehrt
Ist der goldene Schnitt Phi wegen den Fib Zahlen fundamental ?
Das kann man schlecht sagen. Wohl beides.
Jeder moege selber entscheiden.

Die Fib Zahlen sind ein Prototyp einer diskreten Wachstumsfunktion.
Das diskrete, etwas komplexere Gegenstueck zur Exponentialfunktion.
Wobei die Fib Zahlen als komplexwertige Expofunktion dargestellt werden koennen, mit Phi als Wachsumskonstante im Exponenten. Komplexwertig sind Fib Zahlen eine Spiral / Helixfunktion.

Ich hab frueher uebrigends oft zu umstaendlich gerechnet um den Zusammenhang zwischen PHI und FIB darzustellen. Es geht auch ganz einfach. Mit nur einfachster Schulmathematik

Die Fib Zahlen folgen der DZGL (Differenzengleichung,Iterationsanweisung) :
1)fib(k+1)=fib(k)+fib(k-1), fib(0)=fib(1)=1
Was ist daran so besonders ? Die DZGL laesst eine einfache Substitution zur Chrakterisierung zu :
2) g(k)=fib(k+1)/fib(k), g(0)=1
Man sieht schon, wozu dies gut sein koennte.
Man betrachtet mit g(k) nun nicht mehr die Fib Zahlen sondern deren aufeinanderfolgenden Quotienten.
Und diese konvergieren "angeblich" gegen welchen Wert ? ... :-)
Ok! Fuehren wir die Substitution durch :
Wir formen 1) um indem wir durch f(k) teilen :
fib(k+1)/fib(k)=1+fib(k-1)/fib(k)
Un sehen sofort die damit moegliche einfache Substitution :
3) g(k+1)=1+1/g(k) (Klaro warum ?)
Eine nichtlineare DZGL. Obwohl ich diese noch lange nicht ganz verstehe, kann man wiederum mit einfachster Schulmathematik bestimmen gegen welchen Grenzwert, Attraktor diese DZGL strebt :

Attraktor bedeutet :
Fuer diesen aendert sich der Wert der Iteration nicht mehr.
D.h. einfach und anschaulich, dass das Differential (in einer Iteration die Differenz) aufeinanderfolgender Werte sich nicht mehr aendert.
dg(k)/dk=0
In der Differenzengleichung ist es noch einfacher :
g(k+1)-g(k)=0
Aha ! Naja g(k+1)-g(k) koennen wir doch ganz einfach bestimmen :
1+1/g(k)-g(k)=0
Wir multiplizieren beide Seiten mit g(k)
4) g+1-g^2=0
Und verwenden z.B die quadratische Loesungsformel fuer diese GL :
g1=[1+Wurzel(5)] / 2 = 1.618033989 ...
g2=[1-Wurzel(5)] / 2 =-0.618033989 ...

Und die Loesung, Attraktor ist der goldene Schnitt !
***************************************
Wobei man sich nicht so recht einig ist :
Ist 1.618033989 ... oder 0.618033989 ... der goldene Schnitt PHI ?
Da muss man etwas aufpassen :-)

Ich moechte jetzt noch eine interessante Eigenschaft dieses Zahlenwertes vorstellen.
Die einem etwas staunen laesst. Das kann ja nie schaden.
(Wobei viele irrationale Zahlen diese Eigenschaft aufweisen.)
Dazu formen wir Gl 3), (nicht 4) ganz einfach mal um :
g=1+1/g =>
5) 1/g=g-1

Was sagt uns diese Umformung ?
Wenn wir von g, also der Loesung Phi den Kehrwert bilden, so muesste dies der selbe Zahlenwert sein wie wenn wir von Phi die Zahl eins abziehen.
g = 1.618033989 ... => g-1 = 0.618033989 ...
g = 1.618033989 ... => 1/g = ?
Welchen Wert muss 1/g aufgrund der Ausgangsgleichung aufweisen ?
Es muss so sein. Dennoch darf man staunen :
1/1.618033989 ... = 0.618033989 ...

Wie kann man diese Eigenschaft noch formulieren ?
Die Nachkommastellen der Zahl g sind gleich der Nachkommastellen der Zahl 1/g.
"Nachkomastellen" ist kein analytisches, schoes Wort.Wie kann man dieses noch anders ausdruecken ?Es gibt dafuer einen mathematischen Operator, der den Programmierern hier sicherlich bekannst sein duerfte. Das ist der frac{} (fractional) Operator. Dieser Operator (Arbeitsanweisung) besagt :"Nimm von der Zahl x lediglich den Nachkomma-Anteil !"
Beispiel :
frac{1234.5678} = 0.5678
Mit diesem Operator koennen wir die eben gefundene Eigenschaft des goldenen Schnittes nun noch formaler darstellen :
frac(1/PHI)=frac(PHI)


BTW:
Ueber einige Umwege eines komplexwertigen Polynoms laesst sich folgendes zeigen :
Zitat:
Gegeben sei die Zahl y.
Erfuellt y die Gleichung
frac(1/y)=frac(y) und damit
frac(1/y)=frac(n+y), n element N ...
So ist y eine irrationale Zahl.
http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/frac.htm

ciao

Ge?ndert von richy (03.06.11 um 21:34 Uhr)
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