[Sebastian Hauk]

Hallo,

Die Frage ist, ob ich ein ausgezeichnetes Inertialsystem notwendig ist, also z.b. quasi ein absolut ruhendes Etwas im Raum, was man als Bezugssystem nehmen muss, oder nicht.

und dieses hängt m.E. allein von dieser Rechnung ab:

Ein Raumschiff entfernt sich mit einer Geschwindigkeit vE von der Erde. Zwei auf Null gestellte Uhren sollen mit den Relativgeschwindigkeiten v1 und v2 (bezogen auf das Raumschiff) in Richtung Erde fliegen und eine Strecke s zurücklegen, deren Zielpunkt zum Raumschiff ruht.


Gegeben:

vE = 5/6c (Relativgeschwindigkeit Erde Raumschiff)
v1 = 1/3c (Relativgeschwindigkeit Raumschiff – Uhr 1)
v2 = 1/6c (Relativgeschwindigkeit Raumschiff – Uhr 2)
c = 1 (Lichtgeschwindigkeit in natürlichen Einheiten)
s = 1/3Ls (Abstand Raumschiff – Ziel in Lichtsekunden)

Gesucht: Eigenzeiten tau1 und tau2 der Uhren und Überprüfung auf ihre Identität mit den aus dem Erdsystem berechneten Eigenzeiten tau_E1 und tau_E2


gamma1 = 1/sqrt(1-v1^2/c^2) = 1.060660172 (Gammafaktor mit der Geschwindigkeit v1)
gamma2 = 1/sqrt(1-v2^2/c^2) = 1.014185106 (Gammafaktor mit der Geschwindigkeit v2)


Im Raumschiffsystem, das gegenüber dem Zielsystem mit einem Abstand von s ruht, ergeben sich folgende Zeiten:

t1 = s/v1 = 1s (Zeit der schnelleren Uhr 1)
t2 = s/v2 = 2s (Zeit der langsameren Uhr 2)
dt = t2 - t1 = 1s (Zeitdifferenz zwischen der langsameren und schnelleren Uhr)


In den Uhrensystemen ergeben sich somit folgende Eigenzeiten:

tau1 = t1 / gamma1 + dt = 1.94280904s
tau2 = t2 / gamma2 = 1.972026593s


Nun erfolgen die Transformationen der Zeiten t1, t2 und dt vom Raumschiffsystem ins Erdsystem (indiziert mit Unterstrich):

v_E1 = (vE-v1)/(1-vE*v1/c^2) = 9/13c (Relativgeschwindigkeit Erde – Uhr 1)
v_E2 = (vE-v2)/(1-vE*v2/c^2) = 24/31c (Relativgeschwindigkeit Erde – Uhr 2)

gamma_E = 1/sqrt(1-vE^2/c^2) = 1.809068068 (Gammafaktor mit vE)
gamma_E1 = 1/sqrt(1-v_E1^2/c^2 = 1.385804657 (Gammafaktor mit v_E1)
gamma_E2 = 1/sqrt(1-v_E2^2/c^2 = 1.579906293 (Gammafaktor mit v_E2)


Da nun die auszurechnenden Zeitintervalle nicht mehr mit dem gemeinsamen Koordinatenursprung zusammenfallen, muss die Lorentz-Transformation der Zeit (allgemein: t’ = gamma*(t - v*x/c^2)) angewendet werden:

t_1 = gamma_E*(t1-vE*s/c^2) = 1.306549160s
t_2 = gamma_E*(t2-vE*s/c^2) = 3.115617226s

Für d_t (Uhr 1 ruht im Ziel und wartet auf Uhr 2) kann einfach geschrieben werden:

d_t = dt*gamma_E = t_2 – t_1 = 1.809068066s


Somit sind die Zeiten bekannt, unter denen im Erdsystem die Uhren ins Ziel fliegen. Nun erfolgt eine Transformation vom Erdsystem zurück ins Uhrensystem, um die Eigenzeiten auf ihre Identität hin zu überprüfen:

tau_E1 = t_1/gamma_E1 + d_t/gamma_E = 1.94280904s
tau_E2 = t_2/gamma_E2 = 1.972026593s

Man sieht sofort die Identität von

tau1 = tau_E1 und
tau2 = tau_E2

Gruß

Sebastian