Hi Hamilton
Zum Algo in Kurzfassung :
"Vorwaertsiteration"
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Die logistische Gleichung lautet
y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k))=p(y(k))
Fasse ich z.B. zwei Iterationen Zusammen, so entspricht dies einer Verkettung der Iterationsfunktion.
y(k+2)=p(p(y(k)))
Fuer n Iterationen erhalte ich ein Polynom p_n(y), 2^n ter Ordnung
y(k+n)=p_n(y(k))) mit 2^n komplexwertigen Nullstellen.
http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/ana6.htm
Beispiel (mit schlechter Bezeichnung)
Die Verkettung der Iterationsfunktion ist eine gaengige Methode zur Untersuchung von Differenzengleichungen. Dabei weisen die Polynome p_n(y)
charakteristische (teils verblueffende) Eigenschaften auf.
Dazu gehoert auch:
"Rueckwaertsiteration"
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Die Schnittpunkte der Polynome mit y=c erhaelt man indem man vom Startwert y0=c Die Iteration Rueckwaerts laufen laesst. (Bin mir nicht sicher,ob c irgedwelchen Bedingungen genuegen muss. Denn seltsamerweise ergibt jeder Startwert ein aehnliches Bild,was aber
durchaus erklaerbar waere. Komplexe Nullstellen sin ja keine echten Schnittpunkte)
Die Rueckwaertsiteration liefert also jeweis zwei Werte (+-)
In n Iterationen die 2^n Nullstellen des Polynoms p_n(y).
Kurzzusammenfassung
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Die "Vorwaertsiteration" nach n Schritten kann durch ein verkettetes Polynom
p_n(y) der Ordnung 2^n beschrieben werden .
Dessen 2^n Nullstellen liefert eine "Rueckwaertsiteration".
Die Nullstellen sind teilweise komplex (Ausnahme a=2 und 4 ?) und bilden eine Juliamenge.
RANDBEMERKUNG
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BTW: Im Fall a=2 ist das Bild ein Punkt. Es gibt nur die 2^n fache Nullstelle y=1/2.
Das p_n Polynom strebt sehr schnell gegen eine Rechteckfunktion, die die Gerade y=1/2
immer in dem Punkt (1/2,1/2) dem Attraktor tangiert.
Fuer den Fall laesst sich die Verhulst Gleichung dann natuerlich analytisch loesen :-)
ist die Loesung der Verhulst Gleichung x(n+1)=2*x(n)*(1-x(n))
Zitat:
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Du bekommst doch immer andere Bilder, wenn du +-+-+-, oder ++--++--, etc. vorgibst, oder?
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Ich meine ja. (Ausserfuer a=2 natuerlich). Bischen kniffelig.
Irgendwie aehnlich zum Doppeltspaltversuch, Scharmittel=Zeitmittel
Wenn ich nach 20 Iterationen alle 2^20 (etwa 1 Million) Nullstellen betrachte sieht
das Bild genauso aus wie wenn ich eine Million Iterationen verwende aber bei jeder
nur eine Nullstelle hinzugefuegt wird. Aber eben nur wenn das Vorzeichen zufaellig ist.
Das komplette Bild ist nicht unscharf. Es ist genau determiniert, denn es sind ja die Nullstellen eines Polynoms. Das Bild ist aber auch fraktal.
Deine Frage war gut, denn jetzt kann ich es anders ausdruecken.
Durchlaufe ich nicht den kompletten Binaerbaum, dann erhalte ich nur einen Teil der Nullstellen.
Ist das Vorzeichen, dass ich dabei waehle nicht zufaellig. dann zeigt sich graphisch nur ein Teilausschnitt des Bildes.
Wie geht das ? Dieser Teilausschnit wird feiner aufgeloest. Der Ausschnitt geht in die fraktale Tiefe.
Ist das Vorzeichen zufaellig werden alle Bildteile in der komplexen Ebene dargestellt, dafuer in grober Aufloesung.
Vergleich
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Du hast 100 Pinselstriche frei um ein Bild abzumalen.
Entweder du zechnest damit das ganze Bild grob nach oder du zeichnest nur einen Auschnitt, dafuer detaillierter.
Seltsam, dass dies hier der "Grad der Zufaelligkeit" enscheidet.
Zitat:
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Bei zufälligen Vorzeichen kann das natürlich nicht passieren, da bist du in jedem Bildbereich irgendwann mal drin.
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Ganz so einfach kann man es nicht begruenden denke ich. Du beschreibst
bereits die Konsequenz.
Es ist eben die Frage. Warum wirkt sich die Wahl des Vorzeichens dieser Gleichung
im jeweiligen Iterationsschritt
in der Form auf den Auschnitt des Bildes aus, wenn ich nicht alle Faelle betrachte ?
Das Ergebnis fuer alle Faelle (Referenz) kenne ich. Dieses PRG war ja der Ausgangspunkt.
Ich gebe also keine Koordinaten sondern nur das Vorzeichen vor.
Zum Spiel:
Ich dachte dabei man gibt das Vorzeichen durch Mausklicks beim Programmablauf vor. Je "zufaelliger" diese sind, umso groesser sollte der Auschnitt sein den man erhaelt.
Nebenbei liefert diese Zufallswahl einen superschnellen Juliamengengenerator :-)
Viele Gruesse