[richy]

Zusammenfassung :
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Gleichung 1)
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z^n-1=0 hat in C die Loesungen :
z=exp( (i*2*k*Pi)/n), k=0..oo, k element N
z=cos((2*k*Pi)/n) + i*sin((2*k*Pi)/n) , k element N
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Die Anzahl der Loesungen ergibt sich daraus wieviele verschiedene Argumente erzeugt werden, wenn k die natuerlichen Zahlen durchlaeuft.

ganzzahlige Potenzen
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Fuer n element N hat die Gleichung 1 genau n Loesungen

ohne Beweis :

rationale Potenzen
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n sei eine rationale Zahl : n=p/q, p,q element N und teilerfremd
Gleichung 1 hat dann p Loesungen

irrationale Potenzen
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Ist n eine irrationale Zahl so existieren unendlich viele Loesungen

Die Gleichung z^Pi=1 hat unendlich viele Loesungen.
Ja, das ist abgefahren :-)
Das heist jedoch nicht dass jede komplexe Zahl auf dem Einheitskreis hoch Pi gleich 1 ist. Und daraus folgt dass nicht nur unendlich viele Zahlen auf den Einheitskreis passen sondern "noch mehr".