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Alt 03.06.21, 14:55
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TomS TomS ist offline
Singularität
 
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Standard AW: Beweise in der Geometrie

Eine topologische Beweisskizze funktioniert wie folgt:

Man startet mit dem Eulerschen Polyedersatz für E Ecken, K Kanten sowie F Flächen. Es gilt:

E - K + F = 2

Nun betrachtet man regelmäßige n-Ecke sowie v Kanten je Ecke des Polyeders. Für die Anzahl der Kanten K gilt:

2K = nF
2K = vE

Dabei trägt jede Fläche n Kanten bei, wobei jedoch jede Kante zu zwei aneinanderstoßende Flächen gehört; der Faktor 2 berücksichtigt diese Doppelzählung. Jede Ecke trägt v Kanten bei, wobei jede Kante zu zwei Ecken gehört; wieder benötigen wir den Faktor 2 aufgrund dieser Doppelzählung.

Damit eliminiert man die Variablen E und K aus dem Polyedersatz.

Nun betrachtet man die Winkelsumme der n-Ecke und berechnet daraus den Innenwinkel je Ecke. An jeder Ecke stoßen v Flächen d.h. n-Ecke aneinander; die Summe der Innenwinkel muss kleiner als 360° sein, damit ein konvexes Polyeder entstehen kann. Außerdem muss die Zahl v natürlich größer als zwei sein.

Aus dem Polyedesatz sowie der zuletzt betrachteten Bedingung folgt - wenn ich mich nicht verrechnet habe

[2n - v(n-2)]F = 4

2(n-2) < v(n-2) < 2n

Daraus sollten für positive ganze Zahlen n, v, F unter den oben genannten Bedingungen alle topologisch möglichen, regelmäßigen Polyeder folgen.

Den genauen Beweis kannst du googeln, die zulässigen Werte zum Beispiel mittels Exel berechnen.

Dieser rein topologische Beweis wird oft als vollständig dargestellt; dies ist falsch! Für einen platonischen Körper muss sichergestellt sein, dass die Winkel zwischen allen an jeder Ecke aneinanderstoßenden Flächen für alle Ecken identisch sind, und dass damit ein geschlossenes Polyeder entsteht. Dies ist eine zusätzliche geometrische Bedingung, die der topologische Beweis so nicht liefert.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Geändert von TomS (03.06.21 um 14:59 Uhr)
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