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Alt 24.05.12, 00:41
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Standard AW: Math Verhulst 1989

Eigenschaften der Loesungszweige der inversen Verhulst Gleichung
**************************************************
yi(k,n)=1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi)));

yi[0] ist der Anfangswert der Funktion.
k element N stellt die zeitliche Iterationsvariable dar.
n element N stellt die Zweige der mehrdeutigen arccos Funktion dar,

Ohne Beweis :
Die Funktion wiederholt sich ueber n fuer alle m*2^k Zweige :
yi(k,n)=yi(k,n+m*2^k) m element N
**************************
=>
Es existiert immer ein Loesungszweig n_min mit der Eigenschaft n_min < 2^k
************************************************** *******

Mit k_max sei der groesste Iterationsindex bezeichnet. Dessen n_min sei mit n_m bezeichnet.
yi(k_max,n_m) erfuelle die Bedingung :
yi(k_max,n_m)=yi[k_max] sowie
yi(0,n_m)=yi[0]

yi(0,n_m)=yi[0] laesst sich umformen :
yi(0,n)=1/2*(1-cos(2^(-0)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi)))
yi(0,n)=1/2*(1-cos((arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi)))
yi(0,n)=1/2*(1-((1-2*yi[0])))
yi(0,n)=yi[0]
Die Bedingung fuer yi[0] ist fuer jedes n erfuellt.

Forderung :
Der Index n_m soll im Intervall 0...k_max fuer jedes k eine Loesung darstellen : yi(k,n_max)=yi[k]
Es existiere somit fuer jede Loesungsfunktion eine Umkehrfunktion eines einzigen Loesungszweiges n_max.
(Tests haben gezeigt, dass dies sehr oft erfuellbar ist.Aber es existieren Ausnahmen.)
Dann muss fuer den kleinsten Loesungsindex n_min jedes k gelten :

fuer k=0
(bereits ueber yi[0] behandelt)

fuer k=1
Sei 0 der Loesungsindes n_min so muessen alle n_min(k) gerade sein
Sei 1 der Loesungsindes n_min so muessen alle n_min(k) ungerade sein

Allgemein muss fuer jedes k gelten :
n_min(k_max)-n_min(k)=m*2^k, m element N
**********************************

Beispiele :
1)
k=0 n_min=0 y_invers=.5854205387341 2^k=1
k=1 n_min=1 y_invers=.8219392261227 2^k=2
k=2 n_min=3 y_invers=.2890137600000 2^k=4
k=3 n_min=3 y_invers=.9216000000000 2^k=8
k=4 n_min=11 y_invers=.6400000000003 2^k=16
k=5 n_min=27 y_invers=.2000000000000 2^k=32

n_m=27

k=4
27-11=16, 16/16=1
k=3
27-3=24, 24/8=3
k=2
27-3=24, 24/4=6
k=1
27-1=26, 26/2=13
k=0
27-0=27, 27/1=27

Weil es so schoen verblueffend ist noch ein Beispiel :

k=0 n_min=0 y_invers=.9615634951125 2^k=1
k=1 n_min=0 y_invers=.4019738492958 2^k=2
k=2 n_min=0 y_invers=.1133392473032 2^k=4
k=3 n_min=4 y_invers=.9708133262496 2^k=8
k=4 n_min=4 y_invers=.5854205387340 2^k=16
k=5 n_min=20 y_invers=.8219392261227 2^k=32
k=6 n_min=52 y_invers=.2890137600000 2^k=64
k=7 n_min=52 y_invers=.9216000000000 2^k=128
k=8 n_min=180 y_invers=.6399999999998 2^k=256
k=9 n_min=436 y_invers=.2000000000000 2^k=512

n_m =436

436-180=256, 256/256=1
436-52=384, 384/128=3
436-52=384, 384/64=6
436-20=416, 416/32=13
436-4=432, 432/16=27
436-4=432, 432/8=54
436-0=436, 436/4=109
436-0=436, 436/2=218
436-0=436, 436/1=436

Die Frage warum diese Eigenschaften gegeben sind duerfte nicht einfach zu beantworten sein.

Ge?ndert von richy (28.05.12 um 12:13 Uhr)
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