[richy]

- Warum ist eine exakte Erfassung der Eigenschaften der chaotischen Verhulst Umkehrfunktion schwierig ?

Die chaotische inverse Loesung lautet :
*****************************

A) yi:=1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi0)+n*2*Pi)));


Es existiert folgendes Additionstheorem :
******************************

cos(x +- y)=cos(x) cos(y) -+ sin(x) sin(y)


Gleichung A) laesst sich umformen :
yi:=1/2*(1-cos( 2^(-t)*(arccos(1-2*yi0)+n*2*Pi ))) =
yi:=1/2-1/2*cos( 2^(-t)*arccos(1-2*yi0) + 2^(-t)*n*2*Pi )

Man sieht hier bereits, dass der Faktor 2^(-t) eine direkte Vereinfachung mittels des Additionstheorems verhindert. Es ergeben sich zwei verschiedene Problematiken, die ich mit (rot,blau) gekennzeichnet habe. Anwenden des Additiontheorems :

yi:=1/2-1/2*cos( 2^(-t)*arccos(1-2*yi0))*cos (2^(-t)*n*2*Pi )+1/2*sin( 2^(-t)*arccos(1-2*yi0))*sin( 2^(-t)*n*2*Pi )

BLAUES ARGUMENT
Fuer den Sinus und Kosinus des Arguments 2^(-t)*n*2*Pi=2*Pi * n/2^(t) lassen sich fuer ganzzahlige t und insbesonders fuer grosse n
noch einige Vereinfachungen angeben. Dies sind jedoch sehr spezielle Faelle.
In der Vorwaertsiteration wuerde man 2^(t) statt 2^(-t)=1/2^(t) betrachen. Damit ergeben sich dort einfachere Faelle.

ROTES ARGUMENT
Fuer das rot gekennzeichnete Argument ist das Handling nochmals schwieriger. Der Term ist nicht nur vom Anfangswert y0i abhaengig, sondern ebenfalls von der Variablen t (Zeit). Fuer t wird man auch hier ganzzahlige Werte annehmen muessen, die Iterationsvariable k element N. Fuer cos(2^(-t)*arccos(1-2*yi0)) ist selbst fuer ganzzahlige Werte von t mir keine Vereinfachung bekannt. Auch hier stellt der Faktior 2^(k) der Vorwaertsiteration anstatt 2^(-k) der inversen Itreration den "einfacheren" Fall dar. Hier waere tatsaechlich eine "Vereinfachung" moeglich, die ich im naechsten Beitrag kurz darstellen moechte.
Warum ich bisher nur empirische Gesetze anhand numerischer Versuche verwendet habe, sollte bereits verstaendlich sein.