Rueckblick:
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In der bisherigen Vorgehensweise wurden m Iterationsschritte 0...k_max der chaotischen (r=4) Verhulst Gleichung untersucht. Die Umkehrfunktion dieser m Iterationen ist geschlossen angebbar, jedoch mehrdeutig. Welcher Loesungszeig verwendet wird laesst sich ueber einen Parameter n element N ausdruecken. In den letzten Beispielen wurde eine Abbildung des Anfansgswertes yi[0] auf den Wert yi[k], k=0...k_max als Loesung betrachtet.
Experimentell zeigte sich, dass fuer diese Abbildung fuer jedes K unendlich viele Zweige n als Loesung existieren. Eine weitere Annahme waere, dass der kleinste Index fuer n, n_min im Intervall 0...2^k-1 liegt und fuer jeden Index n gilt : y[n]=y[n+2^k] (Recht gesicherte Annahmen)
Um ueberhaupt eine eindeutige Loesung angeben zu koennen kann man fuer jeden Iterationsschritt n_min(k) angeben und erhaelt z.B. fuer m=4,5 und yi[0]=0.8 eine Reihe folgender Form :
m=4
k=0 n_min[0]=
0
k=1 n_min[1]=
1
k=2 n_min[2]=
1
k=3 n_min[3]=
5 = n_m
m=5
k=0 n_min[0]=
0
k=1 n_min[1]=
0
k=2 n_min[2]=
2
k=3 n_min[3]=
2
k=4 n_min[4]=
10 = n_m
Die Reihe 0,1,1,5 stellt eine monoton (nicht streng monoton ) wachsende Funktion dar. Ebenso 0,0,2,2,10.
Den kleinsten Index n = n_min als Loesungszweig anzunehmen ist allerdings eine recht willkuerliche Annahme. Zwar wird die Iteration an den Stuetzstellen erfuellt, jedoch nur dort. Die abschnittsweise gegebene Loesung ist an den Stuetztstellen unstetig wie es folgende Grafik bereits zeigte :
Grundueberlegung:
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Der Index n stellt eine Frequenz dar. Diese wird ueber den Term 2^(+-k) moduliert.
1) Voerwaertsiteration : Die Frequenz steigt ueber den FM Term
2) Rueckwaertsiteration : Die Frequenz sinkt ueber den FM Term
Wegen 1) muss die Rueckwaertsiteration mit einer hohen Frequenz beginnen, die im weiteren Verlauf dann sinkt. Je mehr Iterationswerte m verwendet werden, umso hoeher ist die Ausgangsfrequenz bei yi[k=0]. Der kleinste Index n_min(k=0) ist hier jedoch stets gleich Null. Dies steht im Widerspruch zur Forderung einer hohen Ausgangsfrequenz der Rueckwaertsiterierten. Ebenso der monoton steigende Verlauf der Reihe bei willkuerlicher Wahl des jeweils kleinsten Index n.
Eine geeignete hoehe Ausgangsfrequenz wuerde zum Beispiel die Wahl von n_min(k_max)=k_m fuer k=0 liefern. Eine weitere sehr strenge Forderung waere es, dass dieser Index n fuer alle k den Loesungszweig darstellt. Mit dieser Forderung waere die Stetigkeit gesichert. Die n_min[k] muessen dazu folgende Eigenschaft erfuellen :
n_min(k_max)-n_min(k)=p*2^k, p element N
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Numerisch experimentell zeigte sich, dass diese sehr strenge Annahme "in der Regel" wohl erfuellt wird.
Die Beispielreihen zeigen noch eine Besonderheit :
m=4
k=0 n_min[0]=
0
k=1 n_min[1]=
1
k=2 n_min[2]=
1
k=3 n_min[3]=
5 = n_m
m=5
k=0 n_min[0]=
0
k=1 n_min[1]=
0
k=2 n_min[2]=
2
k=3 n_min[3]=
2
k=4 n_min[4]=
10 = n_m
A)
Erweitert man die Reihe mit m=4 um eine Iteration auf m=5, so wird nicht nur ein neues n_m hinzugefuegt sondern es aendern sich mehrere Elemente der Reihe.
B)
Offenbar laesst sich die Umkehrfunktion fuer jedes k durch einen einzigen Index n_m, somit eine einzelne Zahl beschreiben. Analog zum diskreten Fall muss mit wachsender Anzahl von Iterationen der Informationsverlust exponentiell erhoehen. Dies ist auch fuer n_m(m) gegeben, denn die Moeglichen Werte stammen aus dem Intervall x..2^m
(Ueber den Wert von x bin ich mir noch nicht ganz im Klaren)
Bildet man aus allen n_m(m) der Iterationsreihen eine neue Reihe, (Beispiel im naechsten Beitrag) so sollte diese wegen B eine monoton steigende Funktion darstellen. Dies ist jedoch nicht immer gegeben. Diese Ausnahmen moechte ich im naechsten Beitrag untersuchen :
Diskussion des Sonderfalls n_m(k2)<n_m(k1) fuer k2>k1
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