Hi JoAx,
eine Kugel aus Staub muss keineswegs positive Raumkrümmung aufweisen, da gibt es keinen Unterschied zu einem ganzen homogenen Universum aus Staub.
Ein solches Universum weist bekanntermaßen eine positive, negative oder gar keine Raumkrümmung auf, je nachdem, ob der Staub überkritische, unterkritische oder genau kritische Dichte hat. Die entsprechende
Gleichung (erste Gleichung) zeigt, dass die Krümmung die Summe zweier Terme ist, ein positiver für die Staubdichte und ein negativer für die Expansionsrate. Je höher die Expansionsrate, desto höher kann die Dichte sein, ohne dass daraus positive Raumkrümmung folgt.
In der ART gibt es eine Entsprechung zum Newtonschen
Schalentheorem, dass in einer kugelsymmetrischen Anordnung die Materie außerhalb eines sphärischen Bereichs keinen gravitativen Einfluss auf das Innere der sphäre hat. Da jedes homogene, isotrope Universum um jeden Punkt kugelsymmetrisch ist, gilt das auch für das ganze Universum: Es hat überhaupt keinen Einfluss auf das, was in einer beliebig herausgeschnittenen Kugel passiert. Ich kann es also wegschneiden und nur die Kugel - dann eingebettet in eine äußere Schwarzschildmetrik - betrachten. In dieser Kugel ist die Raumkrümmung dieselbe wie beim einem ganzen Universum, positiv, negativ oder flach.
Eine solche Kugel aus Staub ist eine exakte Lösung der Feldgleichungen, bekannt als Lemaître-Staub ("
LTB Dust"). In dem Artikel kann man die Zusammenhänge nachlesen. Beachte: die Metrik an einem bestimmen Radius r hängt nur von der Dichte dort und der Masse im Inneren ab - das Äußere hat keinen Einfluss.
Wir haben also mehrere wichtige Resultate:
- Die Raumkrümmung in einer Staubkugel kann beliebig sein, sie muss also nicht durch eine geeignete Topologie des Universum "glattgezogen" werden.
- Die Raumkrümmung in einer Staubkugel ist vollkommen unabhängig von der weiteren Gestalt des Universums (Kugelsymmetrie vorausgesetzt), sie
kann also auch gar nicht durch eine geeignete Topologie "glattgezogen" werden.
- Deswegen gibt es aber andersherum einen Zusammenhang: ein Universum überkritischer Dichte
kann keinen flachen Torus bilden. Da jedes statische Universum überkritisch ist, gibt es keinen flachen, staubgefüllten, statischen Torus.
- Auch die Beschleunigungsgleichungen sind unabhängig von der Topologie des Universums. Ein momentan statisches Staubuniversum beschleunigt "nach innen" und kollabiert. Aufhalten kann man das nur durch "abstoßende Gravitation", sprich negativen Druck. Deswegen hatte Einstein die kosmologische Konstante eingeführt und landete bei einem labilen sphärischen Universum.
Um einen flachen Torus zu erhalten, muss man also lokal für die richtigen Bedingungen sorgen. Den Weg "von oben nach unten", also durch die Topologie die Krümmung zu beeinflussen, gibt es nicht.
Im Standardmodell sorgt die Inflationsphase für diese Bedingungen.