[Ich]

Hallo Timm,

beginnen wir mit dem Ende:

Meine Frage dazu: Ist die skalare Krümmung gleichbedeutend mit der Raumzeit Krümmung, oder wie sonst definiert man Letztere?

Ja, so kann man es sagen. Die skalare Krümmung ist das doppelte der Schnittkrümmung aller 6 Ebenen in der Raumzeit. Es ist natürlich nur eine einzige Zahl und fängt nicht alle Aspekte ein - im Grunde nur, ob das Volumen einer Hyperkugel größer oder kleiner ist als 4/3pi*r³.

Den leeren Raum hatte ich für einen speziellen Fall gehalten, bei dem die Krümmung koordinatenabhängig ist, weil das Kriterium Ω nicht greift. Aber bei dieser Begründung lag ich dann ja falsch.

Ω=0, das funktioniert schon. Expandierende Koordinaten führen immer zu einer negativen Krümmung proportional zu 1/H². Dazu gleich mehr.

Wie ist es nun beim materiehaltigen FLRW Raum? Nehmen wir den Fall
Ω = 1; der Raum in mitbewegten Koordinaten ist flach. Ist er dann in anderen Koordinaten (Du hast mal Normal-Koordinaten erwähnt) hyperbolisch bzw. sphärisch?

In Normalkoordinaten immer sphärisch.

Nehmen wir mal den Ausdruck für die Krümmung in den Friedmann-Gleichungen:
k*c²/a² = 8/3*G*pi*\rho - H²,
also sinngemäß
Raumkrümmung FRW = Dichte - H².

In Normalkoordinaten ist der Fall einfacher, da heißt es einfach:
Raumkrümmung Normal = Dichte.

Die Krümmung hängt also nicht von der Expansionsrate ab. Das ergibt auch Sinn, weil
- erstens Normalkoordinaten ziemlich direkt die Raumzeitkrümmung abbilden ohne weitere Koordinatenwahleffekte (*) und
- zweitens Raumzeitkrümmung ja eine lokale Größe ist, und auf kleinsten Skalen ein expandierendes Fluid sich nicht von einem ruhenden Fluid unterscheidet (z.B: beträgt in 1 km Entfernung die Fluchtgeschwindigkeit gerade mal 10^-26 m/s).

Was durch die Expansion passiert ist also keine Änderung der Raumzeitkrümmung (**), sondern nur eine Umdefinition dessen, was "Raum" ist. Indem man da zueinander bewegte Beobachter verwendet statt statischer, verschiebt sich die Gleichzeitigkeitsdefinition und der so definierte Raum erhält eine zusätzliche Krümmung. Diese ist negativ, mit Krümmungsradius 1/H.

Die Summe aus Raumzeitkrümmung und Koordinatenkrümmung ergibt dann die Krümmung des FRW-Raums.

* In Normalkoordinaten nimmst du einen mitbewegten Beobachter, der am räumlichen Koordinatenursprung sitzt. Die Raumkrümmung ist dann gleich der Schnittkrümmung der Ebenen, die senkrecht auf der Weltlinie des Beobachters stehen. Egal, auf jeden Fall entspricht diese Krümmung direkt bestimmten Komponenten der Raumzeitkrümmung und hängt nicht weiter davon ab, wie ich meinen Raum auschneide - das ist nämlich vorgegeben, man schneidet entlang Geodäten.

** Damit meine ich nur die Krümmung an einem bestimmten Ereignis: sie ist nur von der Dichte abhängig, nicht von der Expansionsrate. Global macht das natürlich einen Riesenunterschied.