Hallo Timm,
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Dankenswerterweise stellst Du Zusammenhänge her, die ich so nirgends finden konnte.
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Hast Recht, das hätte ich dazu sagen müssen: Diese Zusammenhänge habe ich so ausformuliert auch noch nicht gefunden. Das ist also zum Teil auf meinem Mist gewachsen und von daher mit Vorsicht zu genießen. Ich hab's aber auf mehrere Arten durchgerechnet und überlegt und bin von daher überzeugt, dass es richtig ist.
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Die Dichte ist positiv, dann ist das wohl der Grund für die sphärische Raumkrümmung in Normalkoordinaten.
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Richtig.
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Lautet die Friedmann-Gleichung in diesen Koordinaten dann einfach
k*c²/a² = 8/3*G*pi*\rho ?
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In diese Koordinaten ist das Universum nicht homogen, kann also nicht über einen Skalenfaktor a beschrieben werden. Wenn du a stattdessen als lokalen Krümmungsradius deutest, passt alles wieder.
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Heißt das, Normalkoordinaten beschreiben ein statisches Universum? Und ist das eine spezielle Lösung der Feldgleichungen, oder wie leitet man diese Koordinaten ab?
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Normalkoordinaten sind in jeder Raumzeit lokal anwendbar, solange sie nicht von Horizonten oder überschneidenden Koordinatenlinien begrenzt werden. Sie beschreiben also alles mögliche, aber immer auf eine Art, die so nah wie möglich an den gewohnten Koordinaten aus der SRT ist. Zur Ableitung und Deutung findest du einiges im
Wikipedia-Artikel.
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Und würde das bedeuten, daß mitbewegte- und Normalkoordinaten nicht in dem Sinne äquivalent sind, wie im leeren Universum, wo man die einen Koordinaten relativ einfach in die anderen transformiert?
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Wie gesagt sind sie überall anwendbar. Das leere Universum ist nur ein besonders schöner Fall, wo Normalkoordinaten über eine einfache Trafo mit den FRW-Koordinaten verbunden sind - und auch noch exakt die global gültigen Minkowski-Koordinaten sind, mit denen man sich auskennt.