Wir haben das System A (Erde) zu welchem sich System B mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt.
Von der Erde aus beobachten wir ein Raumschiff welches sich im System B mit der Beschleunigung a bewegt.
Durch die Beschleunigung a welche das Raumschiff gegenüber System B hat ist die Geschwindigkeitszunahme vom Raumschiff
dv = a * dt'
Das System B hat aber gegenüber der Erde die konstante Geschwindigkeit v.
Mit dem Geschwindigkeits-Additionstheorem ist v + dv zu ermitteln.
v + dv = (v + a * dt') / (1 + ((v/c²) * a * dt'))
v + dv ~ (v + a * dt') * (1 - ((v/c²) * a * dt'))
v + dv = v - (ß² * a * dt') + (a * dt') - ((v/c²) * a² * dt'²) mit ß=v/c
Das Glied 2. Ordnung kann vernachlässigt werden und wir erhalten
dv = a * dt' * (1 - ß²) -diese Gleichnung durch c teilen-
dv/c = (a/c) * dt' * (1 - ß²)
dß/(1 - ß²) = (a/c) * dt' -nun integrieren-
artanh ß = (a * t')/c
ß = v/c = tanh (a * t')/c
v(t') = c * tanh (a * t')/c -
(1)-
v(t') ist die Endgeschwindigkeit wie sie sich für den Beobachter auf der Erde ergibt, wenn die Zeit t' für das Raumschiff vergangen ist.
Wir quadrieren
(1) und finden
ß² = v²/c² = tanh² ((a * t')/c) -
(2)-
aus dt' = dt * sqrt(1 - ß²) folgt mit
(2)
t = integral (dt'/sqrt(1 - tanh² ((a * t')/c))
t = integral cosh (((a * t')/c) * dt')
t = c/a * sinh ((a * t')/c)
(a * t')/c = arsinh ((a * t)/c) -
(3)-
Aus
(1) und
(3) folgt
v(t) = c * tanh (arsinh ((a * t)/c))
Wir kennen: tanh X = sinh X / sqrt(1 + sinh² X)
und finden damit:
v(t) = c * (sinh (arsinh ((a * t)/c)) / sqrt(1 + sinh² (arsinh ((a * t)/c))))
also:
v(t) = (a * t) / sqrt (1 + ((a² * t²)/c²))
Soweit mal grob bis hierhin.
Gruß EMI