Hi merman
Teil 1
Zitat:
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Bloß "angesehen", weil das fachliche Erarbeiten nur im Schneckentempo vorangeht.
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Es gibt bei solchen nichtlinearen Iterationen leider nur wenig zu erarbeiten, da nur weniges analytisch loesbar ist. Man kann sich in einem ersten Schritt das Thema erschliessen, wenn man ein wenig mit den Gleichungen herumspielt. Die Verhulst Gleichung ist hierfuer ein idealer Kandidat, da sie gerne als Prototyp verwendet wird. Sie enthaelt zudem alle Elemente die bei einem quadratischen Charakter auftreten koennen. Ich habe einen kleinen, hoffe moeglichst verstaendlichen Einstiegskurs fuer die Gleichung auf meine Homepage gestellt :
http://home.arcor.de/richardon/richy.../ana_index.htm
Dabei habe ich versucht eine Mischung aus geometrischer und algebraischer Erklaerung zu verwenden. Wobei einige Rechnungen schon sehr aufwendig werden. Aber da kannst du auch einfach das Ergebnis uebernehmen.
Normleweise lernt man die Iteration so kennen, dass man immer einen willkuerlichen Anfangswert y0 verwendet und dann das Ergebnis der numerischen Simulation, die man am besten selber durchfuehrt, fuer verschiedene Parameter r (oder auch als a bezeichnet) sich betrachtet.
Dazu habe ich mal dieses Java Applet im Hammond Orgel Stil :-) geschrieben :
http://home.arcor.de/richardon/richy.../verhulst1.htm
Einfach mal an dem Parameter a und a_fein ziehen.
Das Ergebnis dieser Spielerei stellt das Feigenbaumdiagramm dar. Es zeigt welche Werte die Iteration annimmt dargestellt ueber den Parameter r.
Das Feigenbaumdiagramm ist dabei unabhaengig von Startwert yo.
Die Iteration ist stabil fuer den Parameter 0..4 (aber auch in Inseln ausserhalb dieses Intervalls)
Bemerkenswert ist, dass spezielle Charakteren meist fuer Parameterwerte 1+Wurzel(n) auftreten. n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
So beginnt das grosse Fester der Ordnung bei 1+Wurzel(8) mit einem Dreierzyklus. Und hier folgen die Itarationswerte dazu einer Zipfverteilung.
Der Zweierzyklus beginnt bei 3.0=1+Wurzel(4) und der Viererzyklus bei 1+Wurzel(6) Dann kann man keine einfache Form mehr fuer die Peridenverdopplung mehr angeben und die Iteration wird beim Feigenbaumpunkt chaotisch. Ueber den Feigenbaumpunkt r=3.5699456 ... weiss man wenig. Nichteinmal ob das eine rationale oder irrationale Zahl ist.
Es gibt tatsaechlich einige Musiker, die die Iteration in Audiomaterial umgesetzt haben. (Ich habe die Polynome umgesetzt) In der Hoffnung, dass dieser zufaellige Bereich etwas verblueffendes in sich birgt. Dem ist aber kaum so. Insbesonders ist die Iteration fuer r=4 lediglich ein falsch abgetasteter Cosinus. Ein Kuenstler sollte wissen, dass Auftrittsmerkmale einer Sprache, also auch der Musik einer Zipf Verteilung folgen. Wenn man schon solche Versuche unternimmt sollte man nach solchen Stellen in der Iteration suchen und eine davon ist 1+Wurzel(8)+delta.
Damit habe ich auch schon selbst mit der deutschen Sprache exerimentiert, wobei das Ergebnis nun doch (abgesehen von dem Wort "Hasenrente" ) bescheiden war. Wobei ich dennoch eine verblueffende EIgenschaft fand. Ich habe naemlich nicht nach einer exakten Zipf Verteilungen 1/m gesucht, (davon gibt es nur eine in der Verhulst Gleichung) sondern nach Verteilungen die moeglichst exakt der deutschen Sprache entsprechen. Und davon gibt es im grossen Fenster der Ordnung (jenseits 1+Wurzel(8) ) jede Menge Parameter.
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1651
An den Stellen an denen die rote Funktion etwa gleich Null ist das Verteilungshistogramm der diskretisierten Verhulst Werte gleich dem des deutschen Buchstabenhistogrammes. Der Wert ist ueber die Fehlemethode von Gauss ermittelt. Schon recht aufwedig. Man kann die Verhulst Gleichung damit auch als einen sehr variablen Verteilungsgenerator betrachten.