Zitat:
Zitat von Bernhard
Das [global hyperbolisch] würde mich im Detail auch interessieren.
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Es bedeutet, dass (M,g) globale raumartige Schnitte und damit 3-dim. Mannigfaltigkeiten N zulässt, so dass die 4-dim. Mannigfaltigkeit M global die Topologie M = N * R aufweist, wobei R für die reelle Zahlengerade steht. Damit kann man sich M als übereinandergestapelte Blätter N vorstellen, R als darauf senkrecht stehende, die Blätter durchstoßende Zeit.
Natürlich gilt dies lokal immer, jedoch nicht zwingend global.
Man kann sich auch vorstellen, dass die gesamte Raumzeit mit einer Testflüssigkeit angefüllt ist, die nicht auf die Krümmung der Raumzeit wirkt. Dann definiert das Ruhesystem jedes Flüssigkeitspartikels einen lokale Zeitrichtung und eine lokale Gleichzeitigkeit exakt so wie in der SRT. Bei einem stetigen Geschwindigkeitsfeld der Flüssigkeit folgt aus der Gesamtheit zu jeder Eigenzeit sowohl die Koordinatenzeit sowie ein Blatt des Stapels, insgs. wieder der gesamte Stapel.
Global hyperbolisch bedeutet dann, dass kein Flüssigkeitspartikel eine geschlossene zeitartige Kurve beschreibt und somit nie in seine eigene Vergangenheit gelangt. Deswegen die Topologie N * R.
Speziell für die Singularitätentheoreme und allgemein für Differentialgleichungssysteme wie die Einstein-Gleichungen u.a. bedeutet dies, dass man auf einem N Anfangsbedingungen festlegen kann, also g auf N vorgibt und damit (M,g) und T aus der Zeitentwicklung eindeutig berechnet werden kann. Die Diffeomorphismeninvarianz stellt außerdem sicher, dass N beliebig gewählt werden kann, d.h. dass die verschiedene (N,g) und (N‘,g‘) zum selben (M,g) existieren dass Zeitentwicklungen sowie verschiedene Schnitte verträglich sind.
Das ist für viele vernünftige Raumzeiten erfüllt - Schwarzschild, Friedmann-Universen und deSitter … nicht jedoch für Raumzeiten wie das Gödel-Universum. Für eine Raumzeit mit rotierender Masse und Kollaps funktioniert es wohl auch nicht, da die Kerr-Metrik geschlossene zeitartige Kurven enthält; d.h. eine global hyperbolische Raumzeit kann nicht zu einem Kerr-SL kollabieren. Dazu gibt es jedoch schon wesentlich einfachere Probleme, so ist m.W.n. zu Kerr keine Innenraumlösung (vor dem Kollaps) bekannt.