Kleiner Versuch die Zeitvarianz, den Zeitpfeil mathematisch ueber Birfukation und Zufall zu erfassen.
TEIL 1, "mathematisch"
Grundidee :
Um dynamische Vorgaenge zu beschreiben sollen explizite Differenzengleichungen statt Differentialgleichungen betrachtet werden.
- Da die meisten QM Systeme analytisch nicht loesbar sind wird man ohnehin Differenzengleichungen verwenden muessen.
- Waere die Zeit quantisiert ist die DZGL (Differenzengleichung) und nicht die DGL (Differentialgleichung) sachgemaess.
Eine Birfurkation soll eine Verzweigung eines dynamischen Verlaufs darstellen.
Existiert in einer DZGL in jedem Iterationsschritt eine Birfurkation, so entspricht der dynamische Prozess dem Durchlaufen eines (Binaer)baumes. (Es koennten auch zeitabhaengige Koeffizienten auftreten, so dass der Binaerbaum nichtvollstaendig sein muss)
Ein Iterationsschritt des dynamischen Prozesses soll explizit ueber die Abbildung
x(k+1)=F{x(k,k-1,k-2 ...)} gegeben sein.
Wobei F{} eine beliebige Funktion darstellt.
Bei Mehrkoerpersysteme ist x ein Vektor und es existiert ein PDZE System.
Vereinfacht betrachte ich aber zunaechst nur
x(k+1)=F{x(k)}
Dabei soll F_invers{} die Umkehrfunktion von F{} sein.
F_invers{x(k+1)}=x(k)
Um zu Pruefen ob der Iterationsschritt keine Birfukation enthaelt, die Abbildung also bijektiv ist, genuegt offenbar folgende trivial erscheinende Aussage :
Ist fuer alle x(k)
F_invers{F{x(k)}}=F{F_invers{x(k)}}
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nicht erfuellt, so ist die Iteration nicht bijektiv.
"fuer alle x(k)" koennte man auch dadurch ausdruecken, dass man das Gleichheits, Aequivalenzzeichen durch das Identitaetszeichen ersetzt.
Beispiele :
1) (trivial) :
x(k+1)=a*x(k), a<>0
x(k+1)/a=x(k)
Test :
(x(k)/a)*a=(x(k)*a)/a
x(k)=x(k)
Die Abbildung (Gerade) ist bijektiv und enthaelt keine Birfurkation
2)
x(k+1)=(x(k))^2
+/-Wurzel(x(k+1))=(x(k)) ...
+/-x(k)=x(k)
Dies stellt keine Identitaet dar. Die Abbildung ist nicht bijektiv und enthaelt eine binaere Bifurkation
3)
x(k+1)=exp(x(k))
ln(x(k+1))=x(k)
ln(exp(x))=exp(ln(x))
Auch hier gilt keine Identitaet. Setzte ich x=0 ergibt die rechte Seite Null, die linke Seite ist fuer x=0 nicht definiert.
Erweitere ich x um die komplexen Zahlen so wird die rechte Seite mehrdeutig. Die Abbildung ist nicht mehr bijektiv. (Das muesste man mal genauer untersuchen)
Was mache ich hier eigentlich ?
Ich moechte versuchen die Zeitumkehrbahrkeit und Symetrie ueber eine iterative Betrachtungsweise zusammenzufassen. So wie man sich dies auch intuitiv vorstellen wuerde.
F{F_invers{x(k)}}=F_invers{F{x(k)}}
bedeutet anschaulich :
"Huepfe" ich ueber eine iterative Abbildung einen Zeitschritt nach vorne und ueber die inverse Abbildung im naechsten Zeitschritt scheinbar wieder zurueck, so muss ich auf dem selben Punkt landen, wie wenn ich zunaechst ueber die inverse Abbildung scheinbar zunaechst einen Zeitschritt zurueck huepfe und dann ueber die Abbildung wieder einen Zeitschritt nach vorne.
Dabei muss es kausal eindeutig sein warum ich genau wieder am Ausgangspunkt lande. Das ist nur bei einer bijektiven Abbildung gegeben.
Ebensowenig darf ich bei einem Schritt in einem "Definitionsloch" landen.
Naja. Viel ist das nicht. Nur eine formelle Ausdrucksweise der Bijektivitaet. In der aber der Begriff der Symetrie nicht extra behandelt werden muss. Und man sieht auch schon, dass die Nichtlinearitaet alleine kein ausreichendes Kriterium ist um eine Birfukation zu erzeugen.
Die Funktionen hier sind nichtlinear aber im gegebenen Definitionsbereich bijektiv :
