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Schulphysik und verwandte Themen Das ideale Forum für Einsteiger. Alles, was man in der Schule mal gelernt, aber nie verstanden hat oder was man nachfragen möchte, ist hier erwünscht. Antworten von "Physik-Cracks" sind natürlich hochwillkommen! |
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#1
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Extremwertproblem
Hallo Allerseits,
Ich muss eine Extremwertproblem Aufgabe lösen, bei der ich nicht weiterkomme: Bei einer Rechteckigen Glasplatte ist eine Ecke abgebrochen. Aus dem Rest soll eine rechteckige Scheibe mit möglichst großen Inhalt herausgeschnitten werden. a) wie ist der Punkt P zu wählen Also an die Mathefreaks im forum: Bitte um Hllfe. Für zahlreiche Antworten danke schon mal im voraus Mit Grüßen, George
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Der Besitz der Wahrheit ist nicht schrecklich, sondern langweilig, wie jeder Besitz... Friedrich Nietzsche |
#2
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AW: Extremwertproblem
Hi
Der Link funktioniert leider nicht. Allgemeine Vorgehensweise. Dieser Punkt P wird von den Koordinaten x,y abhaengen. (Wenn man das Rechteck auch drehen kann einem Winke phi.) Fuer diese Parameter ergeben sich unterschiedliche Rechtecke R. Schwierigste Aufgabe wird es sein den Flaecheninhalt dieser Rechtecke als Funktion der Parameter x0,y0 zu ermitteln. Die Flaeche A(x0,y0) Und diese Flaeche maximierst du dann mittels Differentialrechnung. Indem du nach x0,y0 ableitest. Fuer einen Parameter gilt als Extremwert: a) dA(x0)/dx0=0 Die Steigung auf der Bergspitze oder der Talsohle ist gleich Null. Lauft man in ein Tal ist die Steigung erst kleiner Null, beim Verlassen groesser Null. Die Ableitung reicht also von negativen Werten nach positiven Werten. Die Ableitungsfunktion dA(x0)/dx0 selbst hat also eine positive Steigung. D.h. die zweite Ableitung ist groesser 0 An der Bergspitze ist es Umgekehrt D.h. die zweite Ableitung ist kleiner 0 Dass waere die zweite Bedingung , dass der Extremwert nach a) ein Maximum ist. Fuer 2 Parameter schlaegt man die Ableitungsbedingungen am besten nach. Ich hab sie grad nicht im Kopf. |
#3
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AW: Extremwertproblem
Hey Richy,
Hier einmal ein funktionierender Link: Ja, P hägt von x und f(x) ab. Ich nehme 3 Punkte, P selbst (und bezeiche es als P3), und jeweils einen am ende der geraden (also P1 und P2) , auf der P liegt. Für die Fläche A= a*b habe ich dann eine Funktion: A(x1,x3,y2,y3)= [80- (x1+ x3)]* [60-(y2-y3)] ich wähle nun ein KOS, indem die linke Seite des rechtecks genau auf der y- Achse liegt. Es ergibt sich somit: x1= 0 und zusätzlich weiß ich, dass y2= 60 ist. In A(x) eingesetzt: A(x,y)= (80-x3)* [60-(60- y3)] Jetzt habe ich x3 und y3 als variable gewählt. Ich lasse nun durch P1 und P2 eine Funktion laufen (die also alle 3 punkte durchläuft). Für die erhalte ich f(x)= 1,5x +30 ich kann diese in A(x) einsetzen und erhalte nach Umformen: A(x)= 1,5x²- 150x+ 2400 A'(x)= 3x- 150 Hier einmal meine Überlegung Grafisch: So brauch ich nicht mit 2 Variabeln zu rechnen. Für die notw. Bedingung A'(0) habe errechne ich x= 50 Das kann aber nicht sein, denn bei x= 50 kann P garnicht liegen. Die Gerade, auf der P liegt ist für die Definitionsmenge als Df = [0;20] definiert. Nach x= 20 hat man ja gar keine Glasplatte mehr, die man schneiden könnte... Hier komm ich also nicht mehr weiter... Gruß
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#4
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AW: Extremwertproblem
Vorzeichenfehler ?
A(x,y)= (80-x)*y Ich kriege nach Einsetzen A(x) = (80-x)*(1.5x+30) = 120x + 2400 - 1.5x² - 30x = -1.5x² + 90x + 2400 A'(x) = -3x + 90 ==> x = 30 |
#5
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AW: Extremwertproblem
Zitat:
Bis hierhin noch richtig: A(x) = -1.5x² + 90x + 2400 Gruß EMI PS: Die größte Fläche ergibt sich bei P2(x2=20, y2=60) = 60² Die Verschnittflächen addieren und den Punkt P von deren Minimum ermitteln
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Sollen sich auch alle schämen, die gedankenlos sich der Wunder der Wissenschaft und Technik bedienen, und nicht mehr davon geistig erfasst haben als die Kuh von der Botanik der Pflanzen, die sie mit Wohlbehagen frisst. Ge?ndert von EMI (02.11.08 um 03:59 Uhr) |
#6
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AW: Extremwertproblem
Was meinst du mit "Verschnittflächen addieren"? Wie komm ich auf 60²?...
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#7
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AW: Extremwertproblem
Quatsch - die Platte ist doch 80 cm breit: meine Lösung stimmt.
Edit: hast ja doch irgendwie recht damit (s.u.) Ge?ndert von Uli (02.11.08 um 11:50 Uhr) |
#8
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AW: Extremwertproblem
Zitat:
Vielleicht sollte ich so tun, als hätte ich falsch gerundet gruß
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#9
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AW: Extremwertproblem
Zitat:
Bei x=20 verschwindet natürlich keine Ableitung; das ist einfach der Rand des Definitionsbreiches; und dort ist die Fläche am größten. Ge?ndert von Uli (02.11.08 um 11:49 Uhr) |
#10
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AW: Extremwertproblem
Habs auch grad nachgerechnet :
A(x,y)=(80-x)*y y laesst sich ueber x ausdruecken y=30+30/20*x fuer 20>x>0 Setzt man ein erhalet man die bereits genannte Funktion A(x)=2400+90*x-3/2x^2 Deren Maximum liegt bei x=30 also nicht im Intervall [0..20] Die Ableitung ist im Intervall stets positiv. Es reicht dies fuer einen Punkt darin zu zeigen zum Beispiel fuer 0. Denn 30 ist ja das einzigste Extremum : Laesst man sich die Funktion ausdrucken, so sieht man auch dass sie monoton steigend ist. Deren Maximum liegt also beim maximalen x=20 So wie Uli auch argumentiert hat. Es ist ein Randmaximum. Fuer x>20 ist die Funktion nicht mehr y=30+30/20*x sondern konstant y=60 Wuerde ich x noch weiter erhoehen, so wurde sich y nicht mehr aendern und die Flaeche wieder schrumpfen, da (80-x) kleiner wird. y ist eine unstetige Funktion damit auch A(x,y). Man koennte A=(80-x)*(30+30/20*x) fuer 20>x>0 A=(80-x)*60 fuer 80>x>20 darstellen. Dann wuerde man das Maxiumum besonders gut sehen. Ge?ndert von richy (02.11.08 um 19:56 Uhr) |
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