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Schulphysik und verwandte Themen Das ideale Forum für Einsteiger. Alles, was man in der Schule mal gelernt, aber nie verstanden hat oder was man nachfragen möchte, ist hier erwünscht. Antworten von "Physik-Cracks" sind natürlich hochwillkommen! |
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Themen-Optionen | Ansicht |
#11
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AW: Primzahlzwillinge
Zitat:
Der Index m in Lemma 0.3 von e_m bzw. y_m kann beliebig gross sein und damit findet sich auch stets eine Differenz, welche p_{n+x} ergibt. Aber nochmal zurück zu deiner Bemerkung: Fändest du es besser, es als offene Frage zu bezeichnen? |
#12
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AW: Primzahlzwillinge
Zitat:
Für sehr große Primzahlen (und um die geht es hier ja) erscheint mir das momentan fraglich. Die Primzahlzählfunktion pi(x) wächst für große x ja immer langsamer. Man müsste da klären, ob damit p_n+1 nicht irgendwann größer als p_n^2 wird. Dann wäre der Bereich p_n bis p_n^2 auch mal ohne Primzahl.
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Freundliche Grüße, B. |
#13
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AW: Primzahlzwillinge
Nach Joseph Bertrand gilt für jedes n > 1: zwischen n und 2n liegt wenigstens eine Primzahl. Damit liegt offensichtlich zwischen p und p² wenigstens eine Primzahl.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
#14
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AW: Primzahlzwillinge
OK. Damit würde ich Lemma 0.1. und 0.2 als korrekt bewerten.
EDIT: Beim "Beweis" von "Lemma" 0.3 ergibt sich schnell ein offensichtlicher logischer Widerspruch, da p_n+x gemäß (1) und der Voraussetzung in "Lemma" 0.3 gleich 1 ist, gleichzeitig gemäß "Lemma" 0.3 aber auch größer als p_n sein soll.
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Freundliche Grüße, B. Ge?ndert von Bernhard (16.11.21 um 23:24 Uhr) |
#15
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AW: Primzahlzwillinge
Zitat:
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_...%27s_postulate
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Freundliche Grüße, B. |
#16
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AW: Primzahlzwillinge
Das im ersten Beitrag verlinkte Thema im MatheBoard ist inklusive Autor zwar gesperrt, kann aber immerhin noch als Motivation für einen Primzahlgenerator für endliche Primzahlmengen herhalten.
Man findet so nach einer kleinen Korrektur sogar eine interessante Alternative, bzw. Erweiterung des Generators im WP-Artikel. So gilt zB p_1 * p_2 * ... * p_n + oder - p_(n+1)^m ist prim, solange die so berechnte Zahl kleiner als (p_(n+2))² ist. Der Beweis dazu ist trivial. m muss dabei als positive ganze Zahl so gewählt werden, dass die erzeugte Zahl immer größer als 1 und kleiner als (p_(n+2))² ist. EDIT: Im eigentlichen Thema würde man nun weiterkommen, wenn man mit diesem Generator immer einen Zwilling konstruieren könnte, so dass zumindest eine der beiden Primzahlen des neuen Zwillings größer als p_(n+1) ist. Nochmal EDIT: Mit einem kleinen Computerprogramm kann man zeigen, dass man mit allen Möglichkeiten an Exponenten, ähnlich auch wie im verlinkten MatheBoard-Thema beschrieben + Beschreibung aus dem WP-Artikel, aus den Zahlen 2 und 3 alle Primzahlen kleiner 5²-1 und aus den Zahlen 2, 3 und 5 alle Primzahlen kleiner als 7²-1 konstruieren kann. Im ersten Fall kann man die Exponenten der Zahlen 2 und 3 von 1 bis 5 variieren und jeweils die Summe und Differenz betrachten. Im zweiten Fall reicht es die Exponenten auch bis maximal 5 zu betrachten. Man hat dann die Kombinationen 2^i + 3^j * 5^k, 2^i - 3^j * 5^k, 2^i * 3^j + 5^k und 2^i * 3^j - 5^k, wobei die Exponenten i, j, und k immer von 1 bis 5 laufen und das Ergebnis nur gespeichert wird, falls es im Bereich 2 bis 47 liegt. Das macht den Generator interessant, weil man damit eventuell aus einer vorher bekannten vollständigen Menge an Primzahlen eine größere vollständige Menge an Primzahlen ableiten kann. Für die konkrete Anwendung in einem Computerprogramm ist dieser Generator aufgrund der hohen Anzahl an Kombinationen in den Exponenten aber leider nur für sehr kleine Mengen an Primzahlen anwendbar. Bereits bei der Schranke von 1e6 ist das Sieb des Eratosthenes im Rechenaufwand deutlich geringer.
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Freundliche Grüße, B. Ge?ndert von Bernhard (22.11.21 um 18:49 Uhr) |
#17
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AW: Primzahlzwillinge
Zitat:
Sei p_n = 5 und p_n+x = 19, so gilt zwar 19 = 4 * 3 * 5 - 43 + 2 = 2 * 31 - 43. Auf der rechten Seite kann man die 19 nicht ausklammern, weil 31 und 43 prim sind.
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Freundliche Grüße, B. Ge?ndert von Bernhard (22.11.21 um 18:41 Uhr) |
#18
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AW: Primzahlzwillinge
Abschließend und der Vollständigkeit halber noch eine etwas ausführlichere Beschreibung des oben bereits erwähnten Primzahlgenerators für endliche Primzahlmengen:
Man beginnt mit einer bereits bekannten und vollständigen Menge an Primzahlen p_1, p_2, ... , p_n. Nun bildet man aus der Untermenge p_1 bis p_n-1 zwei nichtleere Mengen aus aufeinanderfolgenden Primzahlen aus dieser Untermenge, d.h. a = {p_1 bis p_i} und b = {p_i+1 bis p_n-1} mit i < n-1 und betrachtet die Menge aller Summen sum := p_1^x_1 * ... * p_i^x_i (+/-) p_(i+1)^y_(i+1) * ... * p_(n-1)^y_(n-1) mit den positiven und ganzzahligen Exponenten x_1 bis x_i alle größer oder gleich 1 und y_(i+1) bis y_(n-1) ebenfalls alle größer oder gleich 1. Die resultierenden Zahlen sind entweder selbst Primzahlen oder bestehen aus den Primfaktoren, die nicht zu den Mengen a oder b gehören. Die kleinste so erzeugte Nicht-Primzahl ist demnach p_n^2. Wählt man die Exponenten nun so aus, dass sum > 1 und sum < p_n^2 ergeben sich ausschließlich Primzahlen im Bereich 2 bis p_n^2-1, wobei p_n^2-1 als gerade Zahl noch ausgeschlossen werden kann. Für den Fall, dasss man so von einer vollständigen und endlichen Liste an Primzahlen zu einer größeren vollständigen und endlichen Liste kommt, kann man sich überlegen, ob die größere Liste eventuell grundsätzlich einen Primzahlzwilling enthält .
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Freundliche Grüße, B. |
#19
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AW: Primzahlzwillinge
Zitat:
Aus der Menge 2,3,5 kann man auch mit kleinen Exponenten (< 5) alle weiteren Primzahlen < 49 ableiten. Zu erwähnen ist der Primzahlzwilling 2 + 3*5 = 17 und 4 + 3*5 = 19. Aus der Menge 2,3,5,7 kann man auch mit kleinen Exponenten (< 10) alle weiteren Primzahlen größer als 49 und kleiner als 121 ableiten. Im Bereich kleiner als 49 fehlt die 31, welche sich auch mit Exponenten bis 100 nicht darstellen läßt. Zu erwähnen ist entsprechend der Primzahlzwilling 2 + 3*5*7 = 107 und 4 + 3*5*7 = 109. Bei der Menge 2,3,5,7,11 reduziert sich dann die Menge der generierten Primzahlen zwischen 121 und 169 merklich und zwar auch mit Exponenten < 41, wobei der Rechenaufwand entsprechend steigt. Ich vermute deshalb nun eher, dass der Generator unvollständig ist. Ein weiterer Primzahlzwilling lässt sich gemäß 2 + 3*5*7*11 = 1157 und 4 + 3*5*7*11 = 1159 nicht finden, weil beide Zahlen > 13² sind. Beide Zahlen sind keine Primzahlen. Es ergibt sich also kein trivialer Generator für Primzahlzwillinge.
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Freundliche Grüße, B. |
#20
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AW: Primzahlzwillinge
Habe auch schon öfter mal davon gelesen, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Einen eindeutigen Beweis dafür konnte ich aber nie finden
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