Schwarzschildmetrik, Tangentialkomponente

[Scibo]

Hallo allerseits!
Ich versuche, die Herleitung der Schwarzschildmetrik zu verstehen.
In Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Deriva...child_solution
stellen sie dazu zunächst die allgemeine Form einer Metrik ohne Mischterme auf:

$ds^2=g_{11}dr^2+g_{22}d\theta^2+g_{33}d\phi^2+g_{ 44}dt^2$

Dann setzen sie allerdings $g_{22}$ und $g_{33}$ gleich den Koeffizienten der flachen sphärischen Metrik, so dass es dann

$ds^2=g_{11}dr^2+r^2d\theta^2+r^2 sin^2 \theta d\phi^2+g_{44}dt^2$

wird. Kann mir jemand erklären, wieso man das macht? Ich verstehe speziell nicht, wieso $g_{22}$ und $g_{33}$ nicht irgendeine beliebige _andere_ Abhängigkeit von r haben können? Dann wäre die ganze Metrik doch auch sphärisch symmetrisch, oder nicht?

Oder kann man das irgendwie ineinander umrechnen?

Ist zum Beispiel
(I) $ds^2=A'(r)dr^2+A'(r)(r^2d\theta^2+r^2 sin^2 \theta d\phi^2)+B'(r)dt^2$

eigentlich das gleiche wie

(II) $ds^2=A(r)dr^2+r^2d\theta^2+r^2 sin^2 \theta d\phi^2+B(r)dt^2$

und lässt sich das durch eine Koordinatentransformation ineinander überführen? Wenn dem so ist sehe ich leider nicht, wie.