Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

[richy]

quicks Wiki Beispiel


http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln

Genau diesen Widerspruch hatte ich gemeint, der mit Eugens Beispiel verwandt ist.
Bei Wiki folgt eine weitere Begruendung in Kurzform :

Zur Berechnung der n-ten Wurzeln der komplexen Zahl z = r*exp(iφ) dient die Formel

k=0..n-1
Eine Zahl hat also n komplexe n-te Wurzeln. Dadurch ist ein Wurzelterm in C mehrdeutig.

(Diese Begruendung wird sich als nicht direkt schluessig herausstellen)
Andernfalls haette Benjamin im Fall der Wurzel einer komplexen Zahl somit nun doch recht ? Hier sind stets alle Werte gemeint ? Die komplexen Zahlen sichern den Hauptsatz der Algebra und kaum freut man sich darueber ist dieser schon wieder aufgrund derselben hinfaellig ?
Ich hab gerade mal in Maple allvalues(evalc((-1)^(1/3))); eingetippt. Das kennt diese Vereinbarung wohl nicht. Bei solve(z^3=-1,z); druckt es dagegen brav alle drei Loesungen aus.

Und warum sollte die Wurzel nur fuer komplexe Zahlen mehrdeutig sein ?

x^2=1
x=exp(i*(0+k*Pi) k=0,1
x1=exp(0)=1
x2=exp(j*Pi)=-1

oder
x^3=1
x1=1 eine reele Loesung
x2=-1/2+1/2*I*Wurzel(3) zwei konjungiert komplexe Loesungen
x3=-1/2-1/2*I*Wurzel(3)

Sind mit 1^(1/3) alle drei Ausdruecke gemeint ?


Also jetzt mal konkret ! :
Die Wurzel ist im komplexen ueber den komplexen ln definiert.
exp(ln(z^(1/n)))=exp(ln|z|/n)=exp(ln|z|/n+i*(phi+k*2*Pi)/n) k=0..n-1
************************************************** ***
Vereinfachungen :
In quicks Beispiel gilt stets |z|=1 und damit ln|z|/n=ln|1|/n=0
Es bleibt fuer diese Faelle der Term exp(i*(phi+k*2*Pi)/n)
Den Ausdruck kennen wir bereits und phi kennen wir auch. Mich interessierte
an dieser Stelle lediglich noch einmal in welcher Reihenfolge die Operatoren abgearbeitet werden. Jetzt moechte ich zusaetzlich nur den Hauptwert verwenden k=0. Dann erhalte ich die Vereinfachung
exp(i*(phi)/n) Ich gehe im Folgenden somit relativ willkuerlich wie folgt vor :

a) Ersetzen der Zahl durch die komplexe exp-Schreibweise.
b) Verwenden des Hauptwertes k=0
c) Abarbeiten der Operatoren von innen nach aussen.

Dann erhalte ich folgende Ergebisse :
ACHTUNG HIER FEHLT EINE KONVENTION !

1) Wurzel(-1)*Wurzel(-1)=exp(i*Pi/2)*exp(i*Pi/2)=exp(i*Pi)=-1
2) Wurzel[(-1)(-1)]=Wurzel(exp(i*Pi)*exp(i*Pi))=Wurzel(exp(i*2*Pi)=ex p(i*Pi)=-1
(NACH DER KONVENTION PHI<2*PI ERGIBT SICH 1)
3) Wurzel((-1)^2)=Wurzel(exp(2*I*Pi))=exp(i*Pi)=-1

Die Ergebnisse moegen nicht intuitiv sein, aber wenn ich mich an die Regeln a,b,c halte so ergibt dies wenigstens in dem Beispiel keinen Widerspruch und spaetestens beim naechsten Beispiel sollte klar sein was hier konkret passiert.
Fall 3) abweichend von meinen willkuerlichen Regeln berechnet :
Wurzel((-1)^2)=Wurzel(1)=Wurzel(exp(i*0))=exp(i*0/2)=1

***************************
exp(i*0)=1=exp(i*2*Pi)
aber ziehe ich auf beiden Seiten die Wurzel :
exp(i*0/2)=1 <> -1=exp(i*2*Pi/2)
***************************

Das scheint mir der eigentliche Grund der widerspruechlichen Berechnungen.
Das hat weniger mit der Mehrdeutigkeit eine Wurzel zu tun, sondern der Mehrdeutigkeit einer Zahl in der komplexen Ebene. Liegt dies lediglich daran, dass der Phasenwinkel Null eine Ausnahme darstellt ? Nein.

Beweis, eher unwichtig :
Keine Probleme ergeben sich wenn folgende Bedingung erfuellt ist :

phi/n-(phi+k*2*Pi)/n=m*2*Pi, k=1,2,3...., m=ganze Zahl
-k*2*Pi/n=m*2*Pi
-k/n=m
Wenn k somit zufaelligerweise den Primfaktor n aufweist erhaelt man zufaelligerweise ein eindeutiges Ergebnis :-)

Test in dem dies nicht gegeben ist :
z1=2*Pi
z2=2*Pi+3*2*Pi=8*Pi
n=2
z1/n=Pi (Phasenwinkel von -1)
z2/n=4*Pi (Phasenwinkel von 1)

Test in dem dies gegeben ist :
z1=Pi/2
z2=Pi/2+15*2*Pi
n=3 (3.te Wurzel und 3 ist ein Primfaktor von 15)

z1/3=Pi/6
z2/3=Pi/6+15*2*Pi/3=Pi/6+5*2*Pi
=>z1=z2

Das ist eine Spielerei :-) Man kann sich nicht darauf verlassen, dass n ein Primfaktor vom Faktor k der Mehrdeutigkeit k*2*Pi ist. Es muss also eine Vereinbarung getroffen werden. Ob meine Regeln a,b,c immer zum richtigen Ergebnis fuehren ist fragwuerdig. Eine allgemeinere Regel waere vielleicht, dass man sich bei allen Ausdruecken stets im selben Winkelintervall, Ast des ln bewegt.

Gruesse