Math Verhulst 1989

[richy]

Zitat von merman

Im Namen von Pi muss ich allerdings ein wenig Protest erheben, du weißt dass der Umfang eines Kreises eigentlich exakt 3-mal solang sein sollte wie sein Durchmesser, wir befinden uns bloß im falschen Universum, die Sache mit der Wineklssumme im Dreieck unter Berücksichtigung der Krümmung sieht in anderen Universen geschmeidiger aus.

He he das ist ein hervorragender Einwand. Die ganzen Betrachtungen beziehen sich auf eine euklidsche Geometrie. Auf astronomischen Skalen koennte es durchaus sein, dass unser Freund Phi seine Dezimalstellen etwas aendern muss.
Puh, wie koennte hier ein einfaches Modell aussehen ? Schwierig. Aber eines ist klar. Egal wie stark der Raum auch gekruemmt ist. Zwei Kuehe bleiben zwei Kuehe. Die natuerlichen Zahlen und damit auch Fibonacci Zahlen sind somit Beobachtersysteminvariant. Genauso wie c0. Maßstaebe und die Zeit moegen sich gemaess der RT aendern wie sie wollen aber zwei Kuehe bleiben auch in der RT zwei Kuehe genauso wie C0.

Zitat von merman

Wie sähe ein ("Irrationalitäts"-)Muster für die Umgebung der eulerschen Zahl aus ?

Schauen wir uns dazu zunaechst mal den Kettenbruch von e und die daraus resultierenden Bruchapproximationen an. Um diese selbst zu berechnen kannst du auch den Quellcode auf meiner Homepage verwenden :
http://home.arcor.de/richardon/richy...lden/Chain.txt
(Fuer regulaere Kettenbrueche gibt es eine einfachere Methode die man ohne Rechner, sondern im Kopf anwenden kann und ich im Beitrag vorstelle).


Kettenbruch exp(1)
**************
http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl
Der regulaere Kettenbruch von exp(1) weist keine konstanten Koeffizienten auf. Typisch fuer eine transzendente Zahl.

Dazu noch einige Hinweise, die nur einfachste Schulmathematik verwenden. Meine Darstellung hatte anfangs lediglich die Aufgabe die Mehrdeutigkeit der Wurzeln beim Uebergang von natuerlichen Zahlen zu nichtnatuerlichen Zahen zu visualisieren. Die Irrationalitaetsidee und damit Kettenbruchidee kam erst spaeter. Den Ausdruck "Kettenbruch" hatte ich dazu nicht genau definiert. Gemeint sind regulaere Kettenbrueche. Wie laesst sich ein allgemeiner Kettenbruch in der verketteten Denkweise zunaechst einfach erfassen ? Die Basis dazu bietet der Da Vinci Code :-) Das ist nichts weiter als eine Verallgemeinerung der Fibonacci Iteration :

fib(0)=1, fib(1)=1
fib(k+1)=a*fib(k)+b*fib(k-1) | durch fib(k)
fib(k+1)/fib(k)=a+b*fib(k-1)/fib(k)


Das Einmalige an dieser DZGL zeigt sich darin, dass man fib(k-1)/fib(k) auch schreiben kann als eins durch fib(k)/fib(k+1)

fib(k+1)/fib(k)=a + b/[fib(k)/fib(k-1)]

Das ist das grosse Geheimnis :-)

Denn nun sieht man : Die Substitution z(k+1)=fib(k+1)/z(k), entsprechend z(k)=fib(k)/fib(k-1) fuehrt auf die charakteristische Gleichung der verallgemeinerten Fibonacci Folge :

Gl 1)
z(k+1)=a+b*1/z(k), z(0)=1
**************

Das ist einfachste Schulmathematik. Einfache Substitution und dennoch der Schluessel dazu kompliziert erscheinende Dinge wie Kettenbrueche analytisch und damit einfach betrachten zu koennen.
Nun verketten wir die Iteration !

Aus Gl 1) folgt trivial :

Gl 2)
z(k+2)=a+b*1/z(k+1)

Na und fuer z(k+1) koennen wir aus Gl1) einsetzen :

Gl 3)
z(k+2)=a+b*1/(a+b*1/z(k))
Wir haben zwei Iterationen verkettet. Und koennen das Spielchen beliebig fortsetzen :

z(k+3)=a+b*1/z(k+2)
z(k+3)=a+b*1/(a+b*1/(a+b*1/z(k)))

u.s.w.
In der Asci Schreibweise sieht man es schlecht, aber das Ergebnis ist der allgemeine Kettenbruch. Und fuer den regulaeren Kettenbruch gilt b=1.

Somit :

Der regulaere Kettenbruch hat die Form :
******************************

Gl 4)
z(k+1)=a+1/z(k)
**************
in der Da Vinci Code Schreibweise
Gl 5)
fib(k+1)=a*fib(k)+fib(k-1)
*******************

Yeah, thats easy :

Hmm,alles einfach, schoen und gut.Aber gegen welchen Wert konvergiert die Iteration der Gleichung 4 ?
Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Zahlen des Da Vinci Codes ?

Daran denken : z(k)=fib(k)/fib(k-1)

Auch hier genuegt einfachste Schulmathematik. "Konvergieren" bedeutet, dass sich der Iterationswert z(k+1) von z(k) immer weniger unterscheidet und deren Differenz z(k+1)-z(k) im Grenzfall schliesslich gleich null wird.
z(k+1)-z(k)=0

z(k+1)=a+1/z(k) | auf beiden Seiten minus z(k)
z(k+1)-z(k)=a+1/z(k)-z(k) soll gleich Null sein

a+1/z(k)-z(k)=0
a+1/z-z=0
********
Das ist eine einfache quadratische Gleichung und deren Loesung lautet ? :

Gl 6)
z=1/2*(a+-Wurzel (a^2+4))
*******************

******************
Der einfachste Fall : a=1
******************
(Im folgenden betrachte ich nur den Hauptwert, das positive Vorzeichen)
z=1/2*(1+Wurzel (1^2+4))
z=1/2*(1+Wurzel (5))
Das ist der goldene Schnitt Phi !
Wenn sich z sich nicht mehr aendert, dann betraegt fuer a=1 dessen Wert Phi !
z(k) konvergiert gegen den goldenen Schnitt. Und z(k) war der Quotient zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen. Deren Quotient konvergiert somit gegen den goldenen Schnitt.
Und da eins die kleinste natuerliche Zahl ist, ist gemaess Louville der goldene Schnitt die irrationaste aller Zahlen.

************
Wir testen a=2
************
Fuer a=2 sollten wir die zweitirrationalste aller Zahlen erhalten. Na schaun wir mal :
z=1+1/2*Wurzel (8)
Na wie denn wo denn was denn ? Was ist mit unserer guten alten Wurzel(2) ?
Wenn schon nicht Pi, dann ist doch Wurzel(2) die zweitirrationalste aller Zahlen. Was funkt denn da eine Wurzel(8) dazwischen ?
Schauen wir uns den Zahlenwert an :
1+1/2*Wurzel (8)=2.414213563
Ach so. Das ist Wurzel(2)+1
Logo, denn 1/2 kann man als Wurzel(1/4) in die Klamer ziehen und dann steht da :

z=1+Wurzel(2)
***********
Ja welcher Wert ist denn nun irrationaler Wurzel(2) oder 1+Wurzel(2) ?
Und irrationaler in welchem Sinne ? Nur im Sinne von Louville ?
Da bin ich mir noch nicht selbst ganz schluessig. Meine Grafiken, die manche vielleicht belaecheln werden, koennten hierzu jedoch einen Hinweis geben.
Denn sie zeigen, dass fuer grosse Zahlenwerte die Struktur der Irrationalitaet immer weniger ersichtlich wird. Eine grosse Zahl hat es sehr viel schwerer irrational zu sein als eine kleine Zahl. Betrachten wir die ganze Vorgehensweise als ein Spiel. Fuer ein faires Spiel muessen Rahmenbedingungen geschaffen werden, die allen Teilnehmern des Spiels gleiche Chancen garantieren. (Fairness ist fuer mich uebrigends ein absolutes Grundprinzip.) Das Spiel muss somit fuer alle daran teilnehmenden Zahlen auf einem klar umrissenen Spielfeld ausgetragen werden. Um das Spiel des Grades der Irrationalitaet fair auszutragen muessen wir somit zunaechst ein Spielfeld vorgeben. Dies kann nur ein Intervall zwischen zwei natuerlichen Zahlen sein.
Das heisst. Wir bewerten nur die Nachkommastellen einer Zahl.
Es besteht keinerlei Zweifel daran, dass der goldene Schnitt die nobelste, irrationalste aller Zahlen darstellt. Der goldene Schnitt wird durch zwei Werte repraesentiert. 1/2*(1+wurzel(5)) sowie 1/2*(1-wurzel(5)).
1/2*(1+wurze(5))=1.618.. liegt im Intervall 1..2 und daher wuerde ich als Spielfeld aller "Irrationalitaetsfragen" dieses Intervall zur Beurteilung vorschlagen. Das Intervall 1..2 wird damit zum eigentlichen Irrationalitaets Sparring Ring aller Zahlen. Zur Beurteilung deren Nachkommastellen. Mein hohler Bauch sagt mir gerade das das intervall 0..1 besser waere und der Hauptwert des goldenen Schnittes nicht 1.618... sondern 0,618... ist aber
einigen wir uns zunaechst auf das Spielfeld 1..2
Und darin ist nun Wurzel(2) die zweitirrationalste Zahl und nicht 1+Wurzel(2), denn 2.414213563 liegt ausserhalb des Spielfeldes. Ebenso wie Pi.
Im Sinne des Spieles muss Pi-2 untersucht werden und bezueglich deiner Ausgangsfrage exp(1)-1.

Gruesse