Math Verhulst 1989

[Marco Polo]

Zitat von richy

Sie fliesst wohl aus mathematischen Gruenden in eine Richtung ! Weil diskrete nichtlineare Systeme prinzipiell nicht zeitumkehrbar sind. Ich will gerade zeigen, warum die Zeit in eine Richtung fliesst.

Eine ideale starre Kugel ohne innere Struktur (innere Freiheitsgrade) bewegt sich um eine zweite solche Kugel. Der Prozess waere voellig reibungsfrei auch ohne jedliche innere Reibung. Daher linear, daher zeitumkehrbar und daher sogar irreal.

Ahhh. Ich verstehe. Ja, das leuchtet ein. Das ist hochinteressant. Wenn es tatsächlich zu einem Informationsverlust käme (die Natur rechnet ja schliesslich im gewissen Sinne auch), dann kann es alleine schon deswegen nur "eine" Richtung der Zeit geben, sollte man meinen.

Aber: Das gilt ja nur, wenn ich in einen bereits vorhandenen Rechenprozess eingreife. Für den Urknall gälte das nicht. Dort startet der Rechenprozess ja erst.

Aber nehmen wir an, dass es auch vor dem Urknall bereits Information gab (das wäre z.B. beim Big Bounce der Fall). Dann spricht alleine schon der Hang zur Entropiezunahme für die von uns beobachtete Richtung des Zeitpfeils. Man bräuchte also gar nicht mit dem Informationsverlust argumentieren, wenn sich die Frage nach der Richtung des Zeitpfeils stellt.

Auf der anderen Seite muss man sich aber auch klarmachen, dass die allermeisten Vorgänge im Universum sozusagen bei "Umgebungstemperatur" ablaufen, also mit einem recht geringen Wirkungsgrad (Carnot-Prozess). Gälte das aber auch für den Urknall? Eher nicht. Ohne entsprechende "Arbeitsfähigkeit" der beim Urknall vorhandenen Energie gäbe es uns schliesslich nicht.

Möglicherweise hängt die Frage nach der Zeitrichtung dann davon ab, welcher Efffekt beim Urknall signifikanter war. War es der mögliche Informationsverlust oder die mögliche Zunahme der Entropie?

Hmm...

Gruss, Marco Polo

[Bauhof]

Zitat von Marco Polo

Aber nehmen wir an, dass es auch vor dem Urknall bereits Information gab (das wäre z.B. beim Big Bounce der Fall). Dann spricht alleine schon der Hang zur Entropiezunahme für die von uns beobachtete Richtung des Zeitpfeils. Man bräuchte also gar nicht mit dem Informationsverlust argumentieren, wenn sich die Frage nach der Richtung des Zeitpfeils stellt.

Hallo Marc,

nach meine Informationen definiert die Entropie zwar einen Entropiepfeil, aber nicht automatisch auch dessen Richtung. Brian Greene schreibt dazu auf Seite 191 seines Buches [1] folgendes:

Dies ist der springende Punkt im Hinblick auf alles, was folgt, aber er ist nicht ohne Tücke. Ein häufiges Missverständnis beruht auf der Annahme, dass die Entropie, da sie dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik zufolge in Richtung Zukunft zunimmt, in Richtung Vergangenheit zwangsläufig abnehmen müsse. Da kommt die Tücke ins Spiel.

Tatsächlich besagt der Zweite Hauptsatz nämlich: Wenn ein physikalisches System zu einem gegebenen Zeitpunkt nicht zufällig seine maximal mögliche Entropie besitzt, ist es außerordentlich wahrscheinlich, dass dieses System zu einem späteren Zeitpunkt und zu einem früheren Zeitpunkt höhere Entropie gehabt hat beziehungsweise haben wird. Das ist die Aussage von Abbildung 6.2 (b). Bei Gesetzen, die für die Unterscheidung zwischen Vergangenheit und Zukunft blind sind, ist eine solche Zeitsymmetrie unvermeidlich.

Das ist die entscheidende Lehre. Der entropische Pfeil ist ein Doppelpfeil. Zu jedem gegebenen Zeitpunkt weist der Entropiepfeil in die Zukunft und in die Vergangenheit. Daher ist es ziemlich fragwürdig, die Entropie als die Erklärung für den nur in eine Richtung zeigenden Pfeil der erlebten Zeit vorzuschlagen.

Es müssten also noch zusätzliche physikalische Gegebenheiten herangezogen werden, um die Richtung des Entropiepfeils festzulegen.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Greene, Brian
Der Stoff, aus dem der Kosmos ist.
Raum, Zeit und die Beschaffenheit der Wirklichkeit.
Berlin 2004. ISBN=3-88680-738-X, Erste Auflage.

[richy]

Hi Marco

Wenn es tatsächlich zu einem Informationsverlust käme (die Natur rechnet ja schliesslich im gewissen Sinne auch), dann kann es alleine schon deswegen nur "eine" Richtung der Zeit geben, sollte man meinen.

Dass nichtlineare Prozesse oder besser nichtbijetive Abbildungen nicht eindeutig umkehrbar sind ist nicht neu. Und schon in der Chaostherorie wurde hier ein Zusammenhang zum Zeitpfeil gesehen. Ich meine in einer diskretisierten Form ist es recht klar. Die Umkehrfunktion von etwas Quadratischem enthaelt eine Wurzel. "Landet" ein physikalischer Vorgang an irgendeiner Stelle auf einem "falschen" Zweig ergibt sich wie oben beobachtet womoeglich eine komplexwertigen Loesung. Jetzt kann der Vorgang ja nun nicht "meinen" : Ahem meine Herren hier geht es nicht weiter. Ich glaube ich habe mich irgendwo vertan. Koennten wir die Zeit ein bischen zurueckschrauben damit ich dies korrigieren kann ? :-)
Wie dies aber bei einem nichtlinearen nichtumkehrbaren kontinuierlichen Vorgang sein soll kann ich mir ueberhaupt nicht vorstellen. Und das Dumme ist. Man kann solch eine DGL dann nicht analytisch loesen. Also kann ich ihn nur am Rechner simulieren und dazu muss ich die Gleichungen diskretisieren.
Bei der Entropie und Information hab ich das selbe Problem. Die kann ich mir ohne Diskretisierung einfach nicht vorstellen.

Aber: Das gilt ja nur, wenn ich in einen bereits vorhandenen Rechenprozess eingreife. Für den Urknall gälte das nicht. Dort startet der Rechenprozess ja erst.

Ja das waere der Anfangswert. Und hier meine ich wie EMI das waere ein Zustand geringester Entropie. Oder in meinem Beispiel. Hier liegt die Information vor die bei einer Umkehrung einer Iteration wieder erreicht werden soll.

Dann spricht alleine schon der Hang zur Entropiezunahme für die von uns beobachtete Richtung des Zeitpfeils. Man bräuchte also gar nicht mit dem Informationsverlust argumentieren, wenn sich die Frage nach der Richtung des Zeitpfeils stellt.

Ja. So sehe ich das auch. Die Expansion wuerde genuegen. Aber wie sieht die eigentlich in einem diskretisierten Weltall aus ? Wie wuerdest du dir das vorstellen. Nehmen wir an wir haetten momentan beliebig angenommen 10^100 Raumzeitwuerfel. Wieviele waren es dann beim Urknall ? Ebenfalls 10^100 ? Wenn alles im selben Maßstab expandiert, warum sollte sich dann die Entropie aendern ?
Viel besser kann ich mir vorstellen, dass es hier zunaechst einen oder wenige Raumzeitwuerfel gab. Und Expansion bedeutet dass diese sich teilen, so wie in der LQG. Dann wuerden tatsaechlich mehr moegliche Besetzungszustaende entstehen.

Ohne entsprechende "Arbeitsfähigkeit" der beim Urknall vorhandenen Energie gäbe es uns schliesslich nicht.

Mein Problem ist eher. Wo lander diese ganze Arbeitsfaehigkeit ? Das ist alles nur Scheinleistung die wie eine Feder hin und herschwingt Wirkleistung erhaelts du mit Sicherheit, wenn Reibung, also Verluste im Spiel sind. Wo geht diese Leistung dann hin ? Die landet in diesem Entropie Nirvana. Wie kann man sich das veranschaulichen ? Na gut und wenn die Teilchen Wasserstoff sind, dann fuehrt die Gravitation dazu, dass lokal Materiek****en entstehen. Wasserstoff ballt sich zusammen, eine Sonne, Kernfusion, Energie. Aber ein wirklicher Kreislauf ist das nicht. Zurueck bleibt ein Neutronenstern oder ein schwarzes Loch.
Wenn ich den Energieinhalt des Universus berechne. Was nehme ich da alles hinzu ? Auch Wasserstoffwolken als potentielle Sonnen ?

War es der mögliche Informationsverlust oder die mögliche Zunahme der Entropie?

Formal ist das das selbe. Aber schon klar wie du das meinst. So wie du es oben bereits geschilder hast.
Vielleicht solte ich auch mal schauen wie die Chaosprofis dies aktuell beurteilen. Ach jetzt bin ich schon wieder bei der Physik gelandet. Bevor ich ins Jahr 1989 ohne Maple zurueckkehre, sollte ich vielleicht doch erst meine Hypothese bezueglich der Verhulst Gleichung ueberpruepfen. Fuer komplexe Werte ist es im Grunde klar, dass zu einem Istzustand 2^k komplexe Anfangswerte gehoeren (Siehe Phas-o-mat). Die Verhulst Gleichung ist zunaechst aber noch reell.

Wie kann man meine Idee einfach ueber den Begriff Information beschreiben ?
Nehmen wir die Iteration -3,9,81
Will ich hier von 81 zum Startwert -3 gelangen benoetige ich zusaetzlich die Information ueber das Vorzeichen, die nicht mitgegeben wird. Die kann ich im Beispiel z.B darstellen als
info=(0,1,1)
War der Startwert gleich 3 :
info=(1,1,1)
Um fuer den Spezialfall r=2 der Verhulstgleichung zum Startwert zurueckzukehren benoetige ich die Information
info=(0,0,0,0,0,0,0.....)
Man kann sich ueberlegen (kann ich auch zeigen) War der Startwert groesser 0.5 lautet das Vorzeicheninfo
info=(1,0,0,0,0,0,0.....)

Fuer r=2 kann man im Grunde nicht sagen, dass die Verhulst Gleichung nicht umkehrbar sei. Obwohl sie nichtlinear ist. (Aber sie ist nicht chaotisch). Mir fehlt lediglich das Vorzeichen des Anfangswertes. Allerdings, wenn ich nur mit 100 Dezimalstellen rechne oder nur mit 1000 Dezimalstellen, dann gelingt das Zurueckrechnen nicht. Ich muss wie Maple voellig exakt rechnen.

Wenn ich r nun von r=2 langsam bis r=4 erhoehe erwarte ich Vorzeichenmuster der Form :
info=(1,0,1,0,1,0.....) oder
info=(1,1,1,0,1,0.....)
Ob dem so ist weiss ich noch nicht. (Im Komplexen sicherlich)
Allerdings ist die Bestimmung der Bitmuster mit recht viel Arbeit verbunden. Man wird alle Faelle durchspielen muessen. Auch fuer mehrere Anfangswerte.

Gruesse

[richy]

Hi Eugen

Es müssten also noch zusätzliche physikalische Gegebenheiten herangezogen werden, um die Richtung des Entropiepfeils festzulegen.

Wahrscheinlich. Und die Nichtlinearitaetsaussage alleine ist auch zu schwach.
Muss der nichlineare Prozess chaotisch sein ?
Mich interessiert es einfach wie es sich mit der Umkehrbarkeit und der Vorzeichenwahl bei der Verhulst Gleichung verhaelt. Hat man da aufgrund von numerischen Versuchen mit Fliesskommazahlen vielleicht zu einfach geschlossen:
Na alleine aufgrund der Rundungsfehler ist die Geichung nicht umkehbar.
Klar alleine wegen der Unschaerferelation "rechnet" die Natur nicht exakt.
Aber ich moechte erstmal schauen wie dies im mathematisch exakten numerischen Versuch aussieht. Tja, ich muesste ueberhaupt mehr zu dem Thema lesen.

Gruesse

[richy]

Yeah !!!

Ich hab mir einen feinen simplen Programmcode ausgedacht, der genau diesen Info String liefert auf den ich so scharf war. Ich muss ja gar nicht alle Faelle durchspielen, denn ich hab doch alle Werte gespeichert. Also bilde ich einfach Haupt und Nebenwert der Wurzel die ich s0 und s1 nenne und vergleiche welcher Wert der richtig ist (ueber das Betragsquadrat).
Setze dementsprechend ein Flag 0 oder 1 (in einem "Dezimalpseudostring") und benutze natuerlich das richtigen Wurzelvorzeichen fuer den Zeitschritt.

Vorwaertsinteration wie gehabt, dann der einfache Code :

> k:=0;
> inf:=0;
>
> for i from N to 2*N do
> s0:=simplify(1/2/r*(r-(r^2-4*r*s)^(1/2)));
> s1:=simplify(1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2)));
>
> if (s0-f[N-k])^2 < (s1-f[N-k])^2
> then s:=s0; inf:=inf+0*10^k;
> else s:=s1; inf:=inf+1*10^k;
> fi;
>
> f[i]:=s;
> k:=k+1:
> od:


Der Mapelsche Daemon spielt auch mit und rechnet ohne Ueberlauf exakt.

Und es ist so wie ich es vermutet habe !
Das Vorzeichenmuster ist kein langweiliges

111111111 oder
011111111

wie bei y[k+1]=y[k]^2

sondern tatsaechlich ein Informationsmuster ! Und natuerlich abhaengig von den Anfangswerten. Hey Weihnachten ist doch erst in 70 Tagen :-)

Jetzt lasse ich einfach mal die Anfangswerte 1/10 2/10 ....9/10 in einer Schleife durchlaufen.

Fuer den Spezialfall r=2 erhalte ich wie erwartet noch ein langweiliges Schema :

00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
11111111111
10000000000
10000000000
10000000000
10000000000

Fuer den Chaosfall r=3.9 erhalte ich dagegen die Muster :

00101011111
01101110110
01110110110
01011110110
11001010010
11011110110
11110110110
11101110110
10101011111

Will ich zum Beispiel fuer r=3.9, y0=0.3 nach 10 Iterationen wieder zum Anfagnswert y0 zurueckkehren benoetige ich den "Vorzeichencode" info=01110110110

Und damit habe ich numerisch gezeigt :
Die Verhulstgleichung ist abhaengig vom Parameter r nicht nur aufgrund einer Rechenungenauigkeit nichtumkehrbar, sondern prinzipiell aufgrund der Unkenntnis des Wurzelvorzeichens ! Mit zunehmendem Chaos steigt die "Unkenntnis".

Und so sieht eine chaotische Umkehrung aus, wenn man das Vorzeichenmuster kennt :



(Funktioniert fuer r<>2 sogar mit Flieskomma. r=2 ist eben ein Spezialfall)
Nach so einer Umkehrung habe ich 1989 vergeblich gesucht und dann etwas ganz anderes ausprobiert, das zu fast noch interessanteren Ergebnissen fuehrt.

[richy]

Und da dies auch mit Fliesskomma funktioniert hier mal der Code von
r=3.9, y0=0.9 fuer 500 Iterationen :
EDIT
r=4.0, y0=0.9 fuer 500 Iterationen :


10101110010110000001111001001101010011000010101000 11000101010101111101110011001000110110110111100100 10111110010101111101111000001011110000011111010011 00101000010001001011010011000110100000011000010101 01100100001100111011001011111111111110101111011011 00001011011100101111011000100000001100101110111110 10011101011111101101110011101100100111001001001101 10110100011010001000000010001000110001111000101001 11111000010101000011001101000111111101000001011000 10000100011101111111110011011011000011111111100000


Vorzeichencode des 2 er Zyklus : r=3.4, y0=0.1

11111111101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010

Hier fehlen aufgrund der Periodizitaet lediglich 2 bit Information.
(plus der nichtstationaeren Einschwingphase)


Dreierzyklus r=1+wurzel(8) mit chaotischer Intermettenz

10101101111101101011011011011011011010111111111011 11111011111011011011011011111110110101011101011110 11111010101010110110110110110110110110110110110110 11011011011011011011011011011011011011011011011011 01101101101101101101101101101101101101101101101101 10110110110110110110110110110110110110110110110110 11011011011011011011011011011011011011011011011011 01101101101101101101101101101101101101101101101101 10110110110110110110110110110110110110110110110110 11011011011011011011011011011011011011011011011011

[Hawkwind]

Zitat von richy

Und da dies auch mit Fliesskomma funktioniert hier mal der Code von r=3.9, y0=0.9 fuer 500 Iterationen :

10101110010110000001111001001101010011000010101000 11000101010101111101110011001000110110110111100100 10111110010101111101111000001011110000011111010011 00101000010001001011010011000110100000011000010101 01100100001100111011001011111111111110101111011011 00001011011100101111011000100000001100101110111110 10011101011111101101110011101100100111001001001101 10110100011010001000000010001000110001111000101001 11111000010101000011001101000111111101000001011000 10000100011101111111110011011011000011111111100000

Ich würde eher sagen
10101110010110000001111001001101010011000010101000 11000101010101111101110011001000110110110111100100 10111110010101111101111000001011110000011111010011 00101000010001001011100011000110100000011000010101 01100100001100111011001011111111111110101111011011 00001011011100101111011000100000001100101110111110 10011101011111101101110011101100100111001001001101 10110100011010001000000010001000110001111000101001 11111000010101000011001101000111111101000001011000 10000100011101111111110011011011000011111111100001

[Marco Polo]

Zitat von Hawkwind

Ich würde eher sagen
10101110010110000001111001001101010011000010101000 11000101010101111101110011001000110110110111100100 10111110010101111101111000001011110000011111010011 00101000010001001011100011000110100000011000010101 01100100001100111011001011111111111110101111011011 00001011011100101111011000100000001100101110111110 10011101011111101101110011101100100111001001001101 10110100011010001000000010001000110001111000101001 11111000010101000011001101000111111101000001011000 10000100011101111111110011011011000011111111100001

Hehehe. Das ist mir auch sofort aufgefallen, dass da was nicht stimmen kann. Gut aufgepasst Hawkwind.

Immerhin mal was zum schmunzeln. Danach war mir vorhin nämlich ganz und gar nicht. War vorhin in der Veltins-Arena auf Schalke gegen den 1 FCK.

[Hawkwind]

Zitat von Marco Polo

Hehehe. Das ist mir auch sofort aufgefallen, dass da was nicht stimmen kann. Gut aufgepasst Hawkwind.

Immerhin mal was zum schmunzeln. Danach war mir vorhin nämlich ganz und gar nicht. War vorhin in der Veltins-Arena auf Schalke gegen den 1 FCK.

Ja, ein doch recht unerwarteter Ausgang. Immerhin hat Lüdenscheid-Nord gewonnen, wenn auch mit mehr Glück als Können.

@richy, ich blödel doch nur rum.

Gruß,
Hawkwind

[Marco Polo]

Zitat von Hawkwind

Ja, ein doch recht unerwarteter Ausgang. Immerhin hat Lüdenscheid-Nord gewonnen, wenn auch mit mehr Glück als Können.

Ach stimmt ja. Der Verein, der nördlich von Lüdenscheid angesiedelt ist. Die verbotene Stadt halt. Jetzt sind die auch noch Tabellendritter.

Und danke dass du den Namen der verbotenen Stadt nicht ausgesprochen hast.

Für uns Insider: Herne-West grüsst Lüdenscheid-Nord. Aber pssst...

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@Eugen:

danke für die Info. Das Buch von Brian Green habe ich bereits 2 mal durchgelesen und kenne auch den von dir zitierten Abschnitt.

Wenn wir aber von der klassischen Vorstellung des Urknalls ausgehen, ist hier lediglich die Entropiezunahme in Richtung Zukunft relevant. Ein "davor" gab es ja nicht.

Im übrigen geht es ja hier lediglich um Wahrscheinlichkeiten. Also wie wahrscheinlich ist es, dass sich ein Zustand höherer Entropie einstellt?

Wir wir wissen, ist diese extrem hoch. Das ist für mich ein starkes Indiz dafür, dass der entropische Zeitpfeil in enger Beziehung mit dem tatsächlichen Zeitpfeil steht und keine weiteren Gründe heranzuziehen sind. Die von uns beobachtete Zeitrichtung, war demnach einfach die "wahrscheinlichste".

Gute Nacht,

Marco Polo