Math Verhulst 1989

[richy]

Die "Arccos Polynome" der chaotischen Verhulst Gleichung
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Es existiert folgende Aequivalenz :

arccos(2*x^2-1) = 2*arccos|x|

http://www.matha.rwth-aachen.de/lehr...na2/formel.pdf

Dieser Zusammenhang ist der Schluessel fuer die Loesung der Verhulst Gleichung und laesst sich mittels Verkettung
fuer 2^k*arccos|x|, k element N verallgemeinern.

Beispiel einer Verkettung :

2*arccos|x|=arccos|2*x^2-1|
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Substitution (Verkettung) : x=2*z^2-1
2*arccos|2*z^2-1|=arccos|2*(2*z^2-1)^2-1|
4*arccos|z|=arccos|8*z^4 - 8*z^2 + 1|
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Es ergeben sich fuer z>0 zwei Faelle :

z>Wurzel(2)/2
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4*arccos|z|=arccos(8*z^4 - 8*z^2 + 1)

z<Wurzel(2)/2
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4*arccos|z|=2*Pi-arccos(8*z^4 - 8*z^2 + 1)



Die Anzahl der Fallunterscheidungen waechst leider unangenehmerweise mit der Anzahl der Verkettungen. Dennoch koennte es lohnend sein die verketteten Polynome von x^2-1 etwas genauer zu untersuchen. Die k-fach verketteten Polynome lassen sich durch die Arccos Funktion auf die Form 2^k*arccos|x| "linearisieren" (Lineares Argument) Diese Untersuchung laesst sich ohne den Zusammenhang zur Verhulst Gleichung durchfuehren. "Just for fun". Damit erkennt man auch folgende Verwandtschaft :

Vergleich mit dem Polynom x^2 und dem Logarithmus.
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Die k-fache Verkettung des Polynoms x^2 lautet x^(2^k). Es gilt :
ln|x^(2^k)|=2^k*ln|x|

Im Komplexen existiert zwischen dem arccos und dem ln folgender Zusammenhang :



Siehe auch Herleitung arccos(2*x^2-1) = 2*arccos|x| im Komplexen :
http://www.quanten.de/forum/showpost...65&postcount=4