#121
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
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Gesucht sei die komplex Zahl z, die erfüllt: (0) z = sqrt(i) also ist Erfüllung der quadrierten Gleichung notwendige Bedingung: (1) z*z = i Nun stellen wir die unbekannte komplexe Zahl z durch ihren Realteil x und ihren Imaginärteil y dar: z = x + i*y und setzen in (1) ein: (2) x^2 - y^2 + 2*i*x*y = i Zerlegung dieser Gl. in 2 Gleichungen für Real und Imaginärteil: (2a) Realteil: x^2 - y^2 = 0 (Realteil von i ist ja 0) (2b) Imaginärteil: 2*x*y = 1 (Imaginärteil von i ist 1) Das sind 2 Gleichungen für die 2 reellen unbekannten x und y. Eine der Lösungen ist die von richy und benjamin angegebene. Eine 2. erhält man, da man bei Auflösung von (2a) vor Einsetzen in (2b) auch die negative Wurzel ziehen kann. eine Lösung: x = 1/sqrt(2), y = 1/sqrt(2) also z = 1/sqrt(2) + i/sqrt(2) Bei den weiteren Lösungen mass man a bisserl aufpassen, nur die mitzunehmen, die auch Gl. (0) erfüllen. Durch das Quadrieren von Gl. (0) ist Gl. (1) nicht mehr äquivalent zu Gl. (0), sondern enthält weitere Lösungen, nämlich auch die für z = -sqrt(i). Das ist übrigens reine Mathematik und hat nichts mit dem 4-dimensionalen pseudoeuklidischen Minkowskiraum zu tun. Ge?ndert von Hawkwind (20.06.11 um 12:11 Uhr) |
#122
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Hallo zusammen,
die Fragestellung lautete: Lösung von sqrt(-2*i) MEINE "Lösung" (auch wenn sie den mathematischen Anforderungen hier womöglich nicht genügen sollte): i*i=-1 Wir nehmen für/statt i einmal x=+1 und einmal x=-1 an: sqrt(-2*x) mit ... 1.) x=+1: sqrt(-2*x) = sqrt(-2) Lösung 1: 1.1.) -1,414... * +1,414... = -2 1.2.) +1,414... * -1,414... = -2 2.) x=-1: sqrt(-2*x) = sqrt(+2) Lösung 2: 2.1.) +1,414... * +1,414... = +2 2.2.) -1,414... * -1,414... = +2 Feststellung: Die beiden Vorzeichen treten bei der in dieser Form durchgeführten vollständigen Enumeration in exakt gleicher Häufigkeit auf, keine der obigen Lösungen ist dabei in irgendeiner Art und Weise ausgezeichnet. -> Die Lösung von sqrt(-2*i) ist die Zahl 1,414... mit gleichberechtigtem Vorzeichen Plus und Minus (bzw. alternativ "mit uneindeutigem Vorzeichen"). Alles andere ist zwar in meinen Augen denkbar - Wäre dann aber "eine erzwungene Lösung" bzw. "als willkürliche Festlegung" zu betrachten (-> 'deutsche', 'internationale', ... 'Auslegung'?). IMHO. Zitat:
Unabhängig von "meiner Lösung" - Ich hätte eine Frage an Dich, richy: Wie habe ich Deiner Einschätzung nach (vor dem Hintergrund des aktuellen Sachstands) folgende Aussagen Einsteins zu beurteilen? Zitat:
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Zitat:
Ge?ndert von SCR (20.06.11 um 13:11 Uhr) |
#123
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Hi Hawkwind
Zitat:
Wiki deutsch oder Restwiki Zitat:
Nur eine dieser beiden Loesungen kann richtig sein ! Weil ein eindeutiger Hauptwert festgelegt werden muss. Es steht nicht frei einen solchen offen zu lassen. Er muss festgelegt werden. Das habe ich gerade auch in der Wiki Diskussion angefuehrt : Zitat:
Die Sachlage ist ganz klar. Es muss ein Hauptwert, ein arg(z), ein csgn(z), fuer eine komplexe Wurzel festgelegt werden. Man kann dies verschieden ausdruecken und es ist eine reine Konvention, die aber zwingend durchgefuehrt werden muss. Neu Gedanken in deiner Form helfen hier wahrscheinlich wenig weiter. Ok man koennte sich danach richten welche Vereinbarung im physikalischen Bereicht oefters sinnvolle Aussagen ergibt. Es bleibt dennoch eine reine Definitionsangelegenheit und die kannst weder du noch ich fuer alle Mathematiker vereinbaren. Wobei die Vereinbarung laengst getroffen ist. Denn MAPLE stellt wie der Bronstein einen Standard dar. WIKI dagegen nicht. Und damit ist folgendes per Definition falsch : a) Wurzel(1)=-1 b) (H) Wurzel(-2*i)=-1+1 c) Wurzel(-2+i)=1-i, denn richtig waere [1-i,-1+i] Und hier zeigt sich das Dilemma, denn a und b widersprechen sich weil das Wurzelsymbol im Komplexen so verwendet wird, dass es schizophren ist Zu "Per Definition" : Wenn mit dem Zeichen ">" eine spezielle logische Aussgae definiert ist, dann ist die Aussage 1>3 falsch. Nun kann ich festlegen, dass dieses Symbol bedeutet, 1 kleiner 3. Man koennte ueber jede mathematische Arbeit zunaechst schreiben, dass man das Groesser und Kleinerzeichen vertauscht definiert. Waere das sinnvoll ? Gruesse Ge?ndert von richy (20.06.11 um 16:36 Uhr) |
#124
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
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nicht nur die vorstehende Bemerkung ist für mich einsichtig, sondern auch dein gesamtes Zitat aus dem Wiki-Forum. Unter welchem Link ist dieses Zitat im Wiki-Forum finden, so dass man die dortige Diskussion verfolgen kann? Ich kenne das Wiki-Forum bislang noch nicht. M.f.G. Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen – ihm hatte ich das gar nicht zugetraut! Hermann Minkowski |
#125
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Hi Eugen
Zu jedem Wiki Artikel gibt es eine Diskussionsseite. Einfach oben in der Leiste neben ARTIKEL die Flaeche DISKUSSION anklicken : http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel Direkter Link : http://de.wikipedia.org/wiki/Diskuss..._Wurzel.28z.29 Das geht auch ohne Wiki Anmeldung. Jeder kann einen Wiki Artikel sofort aendern, aber natuerlich wird die Aenderung nicht gleich sichtbar. Sondern sie muss zuerst freigegeben werden. Dafuer gibt es spezielle Pesonen in einer besonderen Hirarchie. Wie diese genau aufgebaut ist weiss ich nicht. Die Qualitaet der Wiki Artikel haengt somit von diesem Personenkreis ab. Im Grunde kann man froh ueber Wiki sein und die Qualitaet ist schon ok. Aber Ausrutscher gibt es dennoch. Z.B gibt es auch im Artikel ueber Hammond Orgeln einen gravierenden Fehler bezueglich der angeblichen absoluten Phasenempfindlichkeit des Gehoers. Eine solche gibt es gar nicht. Ich bin mal gespannt ob man den Artikel aendern wird. Und der aus Wiki Ungarn ware auch betroffen. Gruesse |
#126
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
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Sollen sich auch alle schämen, die gedankenlos sich der Wunder der Wissenschaft und Technik bedienen, und nicht mehr davon geistig erfasst haben als die Kuh von der Botanik der Pflanzen, die sie mit Wohlbehagen frisst. |
#127
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Hi Emi
Auch im Bronstein wird der Ausdruck Wurzel(1-i) verwendet. Ich bin mal gespannt wie Herr Lutzl reagiert, dass er implizit Herrn Bronstein als einen Anfaenger der Mathematik bezeichnet hat. http://de.wikipedia.org/wiki/Taschenbuch_der_Mathematik Lutzl hat insofern recht, dass das Wurzelzeichen im komplexen eine andere Bedeutung hat. Es meint in der Tat alle Loesungen. Und das steht im Widerspruch zur Konvention im Reellen. Jetzt kann ich nicht immer dazuschreiben ob ich eine reelle oder komplexe Zahl meine. Es ist tatsaechlich so, dass hier eine Schreibreform notwendig waere. Fuer das Wurzelzeichen oder dessen Bedeutung. Und die wird sich aufgrund der Algebraprogramme wie MAPLE ergeben. Und dieses gibt vor, dass Wurzel(z) kompatibel zu Wurzel(x) den Hauptwert meint. Und das wird sich auch gegenueber der bisherigen Kovention durchsetzen. Weil dies im Gegensatz zur alten Konvention konsistent ist. LutzL meint aus diesem Grund gar Bronstein waere ein Anfaenger. Er denkt es gaebe gar kein Symbol fuer eine Wurzel im Komplexen. Das muss man sich mal geben. Ich habe eine nichtlineare Wuzelkennlinie eines Filters. Schicke ein komplexwertiges Signal durch. Das darf es nicht geben ? Ebenso stammt der definierte Ausdruck csgn() von MAPLE. Und daher gibt es im Grunde keinerlei Diskussion mehr wie der Hauptwert von Wurzel(-2*i) festgelegt ist. Ich denke nicht dass bei Wiki Interesse an einem Nationalhauptwert einer komplexen Wurzel besteht. An einer deutschen Nationalwurzel. :-) In der Praxis ist die rechte Halbebene doch laengst festgelegt. Das hat sich lediglich bis zu manchen Theoretikern noch nicht herumgesprochen. Den Fehler arg(z)=[0..2Pi] findet man daher auch bevorzugt auf Mathematikseiten ! Gruesse Ge?ndert von richy (20.06.11 um 19:12 Uhr) |
#128
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
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danke für den Hinweis, ich las soeben die Antwort von "Lutzl", dass die Wurzel aus einer komplexen Zahl überhaupt nicht definiert sei Diese Behauptung erscheint mir sehr befremdlich. In meinem Bronstein aus dem Jahre 2001 existiert auf Seite 38 folgendes Kapitel: 1.5.3.6 Radizieren oder Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl Dort ist u.a. definiert: z^1/n = n-te Wurzel aus z mit n>0, ganz. Dazu eine geometrische Interpretation für n=6. Allerdings ist vermerkt, dass das Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl stets n verschiedene Lösungen liefert. Die Wurzel-Operation ist also nicht eindeutig. Vielleicht meint "Lutzl" das mit "nicht definiert". Vielleicht liegt wieder mal nur grandioses Vorbeireden vor. M.f.G. Eugen Bauhof
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
@Eugen
Hast du alle Buecher im Regal oder wie kommst du an den Bronstein ? |
#130
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
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Das hatte ich in der WIKI Diskussion tatsaechlich falsch formuliert. Und alleine die Abbildung oben zeigt den vermeintlichen Unterschied zwischen komplexer Wurzel und reeller Wurzel. Der voellig unnoetig waere, wenn man wenigstens fuer die komplexe Quadratwurzel ebenso wie im reellen eine eindeutige Vereinbarung treffen wuerde. Die lautet im Reellen : Der Hauptwert ist positiv. Und da gibt es nichts dran zu ruetteln. Fehlt in der Grafik nicht der Ast mit den negativen Funktionswerten ? Per Definition : Nein ! Letzendlich fasst man die Grafik oben in einem Symbol oder einer Schreibweise zusammen : Wuzelzeichen, Wurzel(x), sqrt(x) Dann ist im Reellen alles klar oder ? Versuch nun mal alle Eigentuemlichkeiten des komplexen Falls auf den reellen Fall zu uebertragen. Dann zeigt sich am deutlichsten wo das Grunduebel liegt. An der fehlenden Festlegung eines eindeutigen Hauptwertes. Der muss festgelegt werden. Und das ist wie bei Wurzel(1) natuerlich sehr wohl moeglich. Jetzt will man auch die Umkehrabbildung im Falle der komplexen Zahlen mit einem Symbol ausdruecken.Es waere quatsch zu sagen, dass hierfuer kein geeignetes Symbol existiert. Und nun ist den Mathematikern anscheinend ein kleiner Fehler unterlaufen. http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_...mplexen_Zahlen Zitat:
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Und um das geht es gerade. Welchen der beiden moeglichen Hauptwerte nehmen wir ? Nun wollte sich niemand so recht entscheiden was zu tun ware. Und darum haben die Praktiker, spaeter die Algebraprogrammhersteller diese Aufgabe uebernommen. Thats all, Gruesse Ge?ndert von richy (20.06.11 um 20:23 Uhr) |
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