Extremwertproblem

[Marco Polo]

Zitat von Jogi

Nein.
Nach der Höhe der Anbringung.
Wenn die Lampe 100mm Durchmesser (=Höhe) hat, kann ich sie mit ihrem Zentrum nicht auf Nullhöhe der Strasse anbringen, ohne den Asphalt 5cm auf zu graben. Das wäre auch kontraproduktiv, weil dann würde die Lampe ja die Hälfte ihres Lichtes dazu verwenden, den Graben auszuleuchten.

Ich bin von einer Punktquelle ausgegangen. rene hat ja keinen Lampendurchmesser angegeben. Punktquelle also in Höhe der Anbringung. Hab ich die Aufgabenstellung falsch verstanden?

Gruss, Marco Polo

[rene]

Zitat von Marco Polo

Ich bin von einer Punktquelle ausgegangen. rene hat ja keinen Lampendurchmesser angegeben. Punktquelle also in Höhe der Anbringung. Hab ich die Aufgabenstellung falsch verstanden?

Gruss, Marco Polo

Die Lampe ist natürlich punktförmig.

Grüsse, rene

[Jogi]

Zitat von richy

Ahh hier :
http://www.mathematik.uni-wuerzburg....-kugel-abr.pdf
In der Ebene tritt die Wurstkatastrophe schon bei n=2 ein.
Die doppelt lineare Anaordnung wird dort als Bifi bezeichnet :-)

Wahrscheinlich waere ein quadratisches Bleck optimal. Haengt natuerlich von der Anzahl Deckel ab.

Aus dem pdf-Dokument:

Damit haben wir die beste Kreisgitterpackung und
deren Packungsdichte  = =(2p3) :=
0:9069 bestimmt. Diese Kreisgitterpackung heit hexagonal.

Ich hatte mich doch zurecht über die 26% gewundert.


Gruß Jogi

[zeitgenosse]

Zitat von Jogi

Noch besser:
Ein Rundstahl im geforderten Querschnitt.
Den dann in Scheiben schneiden

Stanzen ist effizienter. Die anfallenden Blechschnipsel gehen dann gleich wieder in den Tiegelofen.

Gr. zg

[zeitgenosse]

Zitat von rene

Die Lampe ist natürlich punktförmig.

Leuchten (Lampe und Gehäuse) haben immer eine Strahlungscharakteristik. Diese muss man kennen, um eine realitische Berechnung durchzuführen.

Gr. zg

[zeitgenosse]

@rene

Wenn wir von einer punktförmigen Lichtquelle ausgehen, folgt die Beleuchtungsstärke dem Lambertschen Gesetz:

E = (I/r^2)cosφ ; I ist die Lichtstärke

Für eine optimale Ausleuchtung der Ränder (= grösstmögliche Beleuchtungsstärke) ist sicherlich die Höhe der Lichtquelle entscheidend. Am Besten fertigt man sich zuerst eine Skizze an. Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten "Höhe" (h) und "halbe Strassenbreite" (b/2) sowie der Hypothenuse "radialer Abstand von der Lichtquelle" (r). Der Winkel φ wird durch das Lot durch die Lichtquelle und die Verbindungslinie Lichtquelle-Randpunkt gebildet.

Nun berechnet man den Cosinus und den radialen Abstand (r) und erhält so die Beleuchtungsstärke E(h) als Funktion der Höhe:

E = I*h/((b/2)^2 + h^2)^(3/2))

Nun muss nur noch das Extremum bestimmt werden (Quotienten- und Kettenregel anwenden).

Nach Überspringen der dazu üblichen Zwischenschritte erhalte ich für die optimale Höhe:

h = (1/2)*(sqrt 2)*(b/2) ≈ 0,707(b/2)

Die maximale Beleuchtungsstärke an den Strassenrändern (Symmetrie vorausgesetzt) beträgt dann:

E = 2*(sqrt 3)*I/(9*(b/2)^2)

Gr. zg

[rene]

Hallo Zeitgenosse

Das ist richtig. Man kann noch weiter vereinfachen zu:

h = b / sqrt(8)

E = I*8 / (3*sqrt(3)*b^2)


Grüsse, rene

[Jogi]

Rechnerisch sicherlich richtig.

Aber praxisfremd.

Bei einer Strassenbreite von 6m ergäbe sich eine Anbringungshöhe von ~2,12m.

Zweckmässigerweise wird man die Lichtquelle mit einem Reflektor und einer Streuscheibe ausstatten, dann kann man die Leuchte in einer Höhe anbringen, die die Durchfahrt von grösseren Fahrzeugen zulässt.
Außerdem verringert sich die Blendwirkung der Verkehrsteilnehmer mit zunehmender Höhe.
Gestaltet man Reflektor und Streuscheibe entsprechend, kann man sogar mehr Licht zum Fahrbanrand leiten als zur Mitte.


PS:
Das mit dem Scheibchenschneiden war natürlich nicht ernst gemeint, genausowenig wie die Lichtquelle auf Asphalthöhe.


Gruß Jogi

[zeitgenosse]

Zitat von Jogi

Rechnerisch sicherlich richtig. Aber praxisfremd.

Das Beispiel - wenn ich es richtig verstanden habe - diente lediglich der mathematischen Durchdringung von Extrema. In praxi besitzt eine Leuchte eine charakteristische Lichtstärkeverteilungskurve (LVK), die meist in Polarkoordinaten erstellt und für einen Lichtstrom von 1000 lm normiert ist. Wenn erforderlich werden Diagramme für A-, B- und C-Ebenen gezeichnet.

Für Strassenleuchten (Kandelaber) mit bspw. Quecksilberdampf-Hochdrucklampen wird man in der Regel nicht einen Rund- bzw. Lambertstrahler, sondern eine Leuchte mit Reflektor (Breitstrahler, Tiefstrahler) verwenden. Dadurch verändert sich eo ipso auch die optimale Höhe.

Nebst der erforderlichen Beleuchtungsstärke spielt auch die Lichtfarbe eine Rolle. So erscheinen Gegenstände, die von Natriumdampf-Niederdrucklampen (monochromatisches Licht) angestrahlt werden, in einem gelblichen Licht, das die Konturen gut hervortreten lässt. Die Farbwiedergabe ist jedoch stark eingeschränkt (Katzen erscheinen allesamt grau).

Gr. zg

[zeitgenosse]

Die bisher behandelten Extremwertaufgaben sind Stoff aus dem Gymnasium. Doch lange ist es her!

Deshalb - um niemanden zu strapazieren - nur noch e i n e elementare Aufgabe:

Hans besitzt einen Hausteil mit Schrägdach (im Aufriss ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 3 und 4 Meter). Unter das Dach möchte er eine Kammer mit rechteckigem Querschnitt einbauen.

Wie gross muss das vom Dreieck umschriebene Rechteck f(a, b) sein, damit seine Fläche maximal wird?

Gr. zg