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Plauderecke Alles, was garantiert nichts mit Physik zu tun hat. Seid nett zueinander! |
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#11
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AW: Math DZGL Katalog
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"Mersenne" kette *************** f[k+2]=f[k+1]+2*f[k]+2 f0=0,f1=1 f[k+2]................2*f[k]+2 ------ = 1 + ----------------- f[k+1].................f[k+1] Der Term 2/f[k+1] laesst sich mittels z[k+2]=f[k+2] / f[k+1] nicht einfach substituieren. LOESUNG DES SUBSTITUTION-PROBLEMS : ******************************* Ich kenne doch die Loesung ! Und kann damit f[k+1] explizit ausdruecken : f[k]=2^k-1 f[k+1]=2^(k+1)-1 ...yeah :-) aufs Neue : f[k+2]/f[k+1]=1+2*f[k]/f[k+1]+2/(2^(k+1)-1) Substitution : z[k+1]=f[k+2]/f[k+1] Substitution der Anfangswerte : z[1]=f[2]/f[1]=3 (man muss den Index verschieben) Eingesetzt : z[k+1]=1+2/z[k]+2/(2^(k+1)-1) (kann man auch weiter umformen ..) Das ist ein neuer Gedanke. Existiert die Loesung, kann ich mit dieser Teile ersetzen, die sich nicht substituieren lassen ! Das ist auch praktisch fuer andere Probleme ! Die Mersene Kette ist ein Kettenbruch mit variablen Koeffizienten !!! Diese stellen in der DZGL 2ter Ordnung eine Konstante dar ! *************** "Mersenne" kette *************** z[k+1]=1+2/z[k]+2/(2^(k+1)-1) z0=3 LOESUNG : (2^(k+2)-1)/(2^(k+1)-1) ******************** Ge?ndert von richy (25.11.11 um 05:56 Uhr) |
#12
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AW: Math DZGL Katalog
Fibonacci mit beliebigen Anfangswerten
***************************** s[k+2]=s[k+1]+s[k] fuer beliebige Anfangswerte c0=s[0], c1=s[1] l:=(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c1},s) ) Komplexwerige Darstellung : l:=(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c1},s) ); A) Ein exponentiell wachsender Anteil B) Exponentiell gedaempfter Realteil C) Exponentiell gedaempfter Imaginaerteil A+ B bilden dabei die Loesung fuer ganzzahlige k |
#13
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AW: Math DZGL Katalog
Anwendung :
********* Ueber letztere Darstelung lassen sich nun auch Anfangswerte so waehlen, dass verschiedene Charakteren vorgegeben werden koennen. Beispiel 1 ******* Unterdruecken des Exponentielle Wachstums der Fib Zahlen : Im Gegendatz zur ueblichen Darstellung sieht man sofort dass dies erfuellt ist wenn ich den ueber die Anfangswerte gebildeten Vorfaktors des Terms A geeignet waehle : solve(1/5*c0+1/10*c1+1/10*5^(1/2)*c1=0,c0); Die Loesung lautet : c0=-c1*(1+wurzel(5) )/2 Fuer c1=-1 erhalt man (nicht unbedingt ueberraschenderweise) c0= goldener Schnitt Fib DZGL s0=Phi, s1=1 ********** Bild der Spirale : with(plots); c1:=-1; c0:=-1/2*c1*(1+5^(1/2)); l:=evalc(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c 1},s)); complexplot(l,n=0..50); |
#14
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Einige einfachste Loesungen der DZGL's vom Fibonaccityp :
Anfangswert Kuehlschrankform (2011) f(n+2)=f(n+1)+2*f(n), f(0)=k, f(1)=2*k Loesung : k*2^n ************** f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=i Loesung : i^n = exp(i*Pi/2*n) ********************** f(n+2)=-2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=-i Loesung : (-i)^n ********************** f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=2*i Loesung : (n+1)*i^n ********************** f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=-2*i Loesung : (n+1)*(-i)^n ********************** f(n+2)=f(n+1)-1/4*f(n), f(0)=k, f(1)=k Loesung : k*(n+1)*(1/2)^n *************************************** f(n+2)=f(n+1)-1/4*f(n), f(0)=2*k, f(1)=k Loesung : 2*k*(1/2)^n *********************************** Kuehlschrankform die zu Mersenne fuehrt f(n+2)=f(n+1)+2*f(n), f(0)=1, f(1)=2 Loesung : 2^n ************** EDIT 2010 Wenn ich noch bei allen wuesste wie ich damals darauf kam waere ich froh :-) EDIT 2011 Indem man nicht den Re und Im Teil getrennt betrachtet wie im folgenden ? Sowie durch herantasten. Ge?ndert von richy (03.12.11 um 02:34 Uhr) |
#15
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Gleichungen um die einfachen Loesungen zu konstruieren :
*********** Fib P 1 DZGL *********** f[k]=P*f[k-1]+f[k-2] f0=1, f1=c1 l:=((rsolve({y(n+2)=P*y(n+1)+y(n),y(0)=1,y(1)=c1}, y))); *********** Fib Q 1 DZGL *********** f[k]=f[k-1]+Q*f[k-2] f0=1, f1=c1 l:=((rsolve({y(n+2)=y(n+1)+Q*y(n),y(0)=1,y(1)=c1}, y))); *********** Fib PQ 1 DZGL *********** f[k]=P*f[k-1]+Q*f[k-2] f0=1, f1=c1 l:=((rsolve({y(n+2)=P*y(n+1)+Q*y(n),y(0)=1,y(1)=c1 },y))); Ge?ndert von richy (25.11.11 um 04:02 Uhr) |
#16
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Verhulst DZGL Logistische Gleichung :
**************************** x[n]=r*x[n-1]*(1+x[n-1]) x0=0..1 Loesungen : ********* (Erwin Schreoeder verwender den sinus statt cosinus bei r=4) Losungsweg A : ************ Der Loesungsansatz der Verhulst Gleichung besteht aus zwei Koordinatentransformationen. Eine lineare Transformation T1: z(k)=1-2*x(k) sowie eine nichtlineare Substitution, Transformation : T2: s(k)=g{z(k)} Folgende Aquivalenzen fueren zu T2: *************************** r=4 : arccos(2*x^2-1) = |2*arccos(x)| r=2 :ln(x)^2=2*ln(x) Loesungsweg B fuer r=2 ****************** Bestimmen der einzigen mehrfachen Nullstelle des Uebertragungspolynoms nach der Transformation T1 Ge?ndert von richy (27.02.12 um 19:19 Uhr) |
#17
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Der einfachste Prototyp der quadratischen Form ist
Die zentrierte Verhulst DZGL (Mandelbrotform) ********************* x(k+1) = 1/2*r*(x(k)-1)*(x(k)+1)+1 **************************** x0=-1..1 Loesungen : ********* r:=2 x(k)=exp(2^(k)*ln|x0|) (strebt gegen 0) ***************** r:=4 x(k)=cos(2^(k)*arccos|x0|) ********************* Synthese: ******* Folgt aus der Verhulst Gleichung unter T1 : x(k)=1/2*(1-z(k)) Beispiele der verketteten Polynome der zentrierten Verhulst Gleichung Feigenbaumdiagramm der modifizierten Iteration : http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=2077 Ge?ndert von richy (04.12.11 um 03:37 Uhr) |
#18
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Aus der zentrierten Form lassen sich durch lineares Dezentrieren viele weitere Varianten der Verhulst Gleichung konstruieren, die mit der selben Methode geloest werden koennen.
Ansatz : zentriertes Polynom : 1/2*r*(s-1)*(s+1)+1 lineares dezentrieren : Substitution s:=p+q*z fuehrt auf das Polynom : 1/2*r*(p+q*z)^2-1/2*r+1 Loesbarer Fall r=2 : (p+q*z)^2 Loesbarer Fall r=4 : 2*(p+q*z)^2-1 |
#19
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allgemeine Verhulst DZGL
******************* Jede Differenzengleichung der Form x[k+1]=(p+q*x[k])^2 ***************** oder x[k+1]=2*(p+q*x[k])^2-1 ******************** laesst sich mit folender Substitution "zentrieren" T1 : x[k]=(z[k]-p)/q Und ist dann ueber T2 loesbar. Beispiel VDZGL: *********** Die Verhulst DZGL laesst sich durch folgende Substitution zentrieren : x(k)=1/2*(1-z(k)) MAPLECODE ALS TEST restart;g:=x1=2*x0*(1-x0); > x1:=(1-z1)/2; > x0:=(1-z0)/2; > solve(g,z1); und mittels x(k)=(1-2*z(k)) dezentrieren MAPLECODE ALS TEST restart;g:=x1=x0^2; > x1:=(1-2*z1); > x0:=(1-2*z0); > solve(g,z1); Ge?ndert von richy (04.12.11 um 01:17 Uhr) |
#20
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Nichtlinearer Fibonaccityp der zentrierten VDZGL fuer r=2
Die zentrierte VDZGL : x(k+1)=x(k)^2, x(0)=x0 ist identisch mit folgender nichtlinearen DZGL zweiter Ordnung : x(n+2)=|x(n+1)|*x(n)^2, x(0)=x(0), x(1)=x(0)^2 ************************************* (Es kann nur eine Aussage ueber den Betrag getroffen werden) Dezentrieren auf Verhulst Form : ************************ Die Vehulst DZGL : x(k+1)=2*x(k)*(1-x(k), x(0)=x0 ist identisch mit folgender nichtlinearen DZGL zweiter Ordnung : x(n+2)=-1/2*( (1-2*x(n+1))*(1-2*x(n)^2)-1), x(0)=x(0), x(1)=2*x(0)*(1-x(0)) ************************************************** ********** Ge?ndert von richy (04.12.11 um 17:55 Uhr) |
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