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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #151  
Alt 01.04.10, 15:03
Uli Uli ist offline
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Standard AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Dann hatte ich deinen Satz

"Denn er passt sich schließlich z.B. den Gezeitenkräften der Gravitation nicht kräftefrei an (er wird beobachtbar zerrissen)."

offenbar falsch verstanden und nehme meine unnötige "Belehrung" zurück.
Uli
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  #152  
Alt 01.04.10, 15:25
SCR SCR ist offline
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Standard AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:
Zitat von Uli Beitrag anzeigen
und nehme meine unnötige "Belehrung" zurück.
So hatte ich wiederum Deinen Beitrag gar nicht verstanden
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  #153  
Alt 01.04.10, 15:46
SCR SCR ist offline
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Standard AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Jetzt kommen wir endlich zum ersten Tensor: Der metrische bzw. Fundamentaltensor
Zitat:
Zitat von S. 777 Mitte - 779 Unten
§ 4. Beziehung der vier Koordinaten zu räumlichen und zeitlichen Meßergebnissen.
Analytischer Ausdruck für das Gravitationsfeld.

Es kommt mir in dieser Abhandlung nicht darauf an, die allgemeine Relativitätstheorie als ein möglichst einfaches logisches System mit einem Minimum von Axiomen darzustellen. Sondern es ist mein Hauptziel, diese Theorie so zu entwickeln, daß der Leser die psychologische Natürlichkeit des eingeschlagenen Weges empfindet und daß die zugrunde gelegten Voraussetzungen durch die Erfahrung möglichst gesichert erscheinen. In diesem Sinne sei nun die Voraussetzung eingeführt:
Für unendlich kleine vierdimensionale Gebiete ist die Relativitätstheorie im engeren Sinne bei passender Koordinatenwahl zutreffend.

Der Beschleunigungszustand des unendlich kleinen ("örtlichen") Koordinatensystems ist hierbei so zu wählen, daß ein Gravitationsfeld nicht auftritt; dies ist für ein unendlich kleines Gebiet möglich. X1,X2,X3 seien die räumlichen Koordinaten; X4 die zugehörige, in geeignetem Maßstabe gemessene 1) Zeitkoordinate. Diese Koordinaten haben, wenn ein starres Stäbchen als Einheitsmaßstab gegeben gedacht wird, bei gegebener Orientierung des Koordinatensystems eine unmittelbare physikalische Bedeutung im Sinne der speziellen Relativitätstheorie.

Der Ausdruck:

(1) ds² = dX1² + dX2² + dX3² - dX4²

hat dann nach der speziellen Relativitätstheorie einen von der Orientierung des lokalen Koordinatensystems unabhängigen, durch Raum-Zeitmessung ermittelbaren Wert. Wir nennen ds die Größe des zu den unendlich benachbarten Punkten des vierdimensionalen Raumes gehörigen Linienelementes. Ist das zu dem Element (dX1, .... dX4) gehörige ds² positiv, so nennen wir mit Minkowski ersteres zeitartig, im entgegengesetzten Falle raumartig.
Zn dem betrachteten "Linienelement" bzw. zu den beiden unendlich benachbarten Punktereignissen gehören auch bestimmte Differentiale dx1 .... dx4 der vierdimensionalen Koordinaten des gewählten Bezugssystems. Ist dieses sowie ein "lokales" System obiger Art für die betrachtete Stelle gegeben, so werden sich hier die dXv durch bestimmte lineare homogene Ausdrücke der dxσ darstellen lassen:

(2)

Setzt man diese Ausdrücke in (1) ein, so erhält man

(3)

wobei die gστ Funktionen der xσ sein werden, die nicht mehr von der Orientierung und dem Bewegungszustand des "lokalen" Koordinatensystems abhängen können; denn ds² ist eine durch Maßstab-Uhrenmessung ermittelbare, zu den betrachteten, zeiträumlich unendlich benachbarten Punktereignissen gehörige, unabhängig von jeder besonderen Koordinatenwahl definierte Größe. Die gστ sind hierbei so zu wählen, daß gστ = gτσ ist; die Summation ist über alle Werte von σ und τ zu erstrecken, so daß die Summe aus 4 x 4 Summanden besteht, von denen 12 paarweise gleich sind.

Der Fall der gewöhnlichen Relativitätstheorie geht aus dem hier Betrachteten hervor, falls es, vermöge des besonderen Verhaltens der gστ in einem endlichen Gebiete, möglich ist, in diesem das Bezugssystem so zu wählen, daB die gστ die konstanten Werte

(4)

annehmen. Wir werden später sehen, daß die Wahl solcher Koordinaten für endliche Gebiete im allgemeinen nicht möglich ist.

Aus den Betrachtungen der §§ 2 und 3 geht hervor, daß die Größen gστ vom physikalischen Standpunkte aus als diejenigen Größen anzusehen sind, welche das Gravitationsfeld in bezug auf das gewählte Bezugssystem beschreiben. Nehmen wir nämlich zunächst an, es sei für ein gewisses betrachtetes vierdimensionales Gebiet bei geeigneter Wahl der Koordinaten die spezielle Relativitätstheorie gültig. Die gστ haben dann die in (4) angegebenen Werte.

Ein freier materieller Punkt bewegt sich dann bezüglich dieses Systems geradlinig gleichförmig. Führt man nun durch eine beliebige Substitution
neue Raum-Zeitkoordinaten x1 .... X4 ein, so werden in diesem neuen System die gστ nicht mehr Konstante, sondern
Raum-Zeitfunktionen sein. Gleichzeitig wird sich die Bewegung des freien Messenpunktes in den neuen Koordinaten als eine krummlinige, nicht gleichförmige, darstellen, wobei dies Bewegungsgesetz unabhängig sein wird von der Natur des bewegten Massenpunktes. Wir werden also diese Bewegung als eine solche unter dem Einfluß eines Gravitationsfeldes deuten. Wir sehen das Auftreten eines Gravitationsfeldes geknüpft an eine raumzeitliche Veränderlichkeit der gστ.

Auch in dem allgemeinen Falle, daß wir nicht in einem endlichen Gebiete bei passender Koordinatenwahl die Gültigkeit der speziellen Relativitätstheorie herbeiführen können, werden wir an der Auffassung festzuhalten haben, daß die gστ das Gravitationsfeld beschreiben.

Die Gravitation spielt also gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie eine Ausnahmerolle gegenüber den übrigen, insbesondere den elektromagnetischen Kräften, indem die das Gravitationsfeld darstellenden 10 Funktionen gστ zugleich die metrischen Eigenschaften des vierdimensionalen Meßraumes
bestimmen.

---

1) Die Zeiteinheit ist so zu wählen, daB die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit - in dem "lokalen" Koordinstensystem gemessen - gleich 1 wird.
Als erstes eine kleine Bitte: Habe ich irgendwo evtl. versehentlich einen (Ab-)Schreibfehler reingehauen?
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  #154  
Alt 01.04.10, 18:19
SCR SCR ist offline
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Standard AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Dann darauf aufbauend an dieser Stelle noch einmal der Verweis auf EMIs formidabler Herleitung von (3) auf Basis der kovarianten Darstellung des Metriktensors:

Ge?ndert von SCR (01.04.10 um 18:42 Uhr)
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  #155  
Alt 01.04.10, 18:42
SCR SCR ist offline
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Standard AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Und um einmal zu sehen, ob ich wider Erwarten auch schon ein bißchen was gelernt habe - Die kontravariante Darstellung des Metriktensors stellt sich wie folgt dar:

Diese Matrix ist invers zur obigen Matrix des kovarianten Metriktensors, das Produkt beider Matrizen muß den Einheitsvektor

ergeben. Dies ist nur dann erfüllt, wenn ko- und kontravarianter Metriktensor identisch sind (@zg: Prüfung durch / Herleitung über Gaußsches Eliminationsverfahren möglich ).

Soweit richtig? (Vermutlich wohl eher voll daneben! )
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  #156  
Alt 01.04.10, 19:32
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EMI EMI ist offline
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Standard AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
Dann darauf aufbauend an dieser Stelle noch einmal der Verweis auf EMIs formidabler Herleitung von (3) auf Basis der kovarianten Darstellung des Metriktensors:

(Ist doch korrekt, EMI - Oder? )
Ja SCR,

das ist der Fundamentaltensor der ART.

Wegen gik=gki bleiben von den 16 Elementen 10 Tensorgrößen übrig, die das grav.Potential darstellen.

In der SRT nehmen die 16 Größen konstante Werte an:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

In der grav.Theorie Newtons ist das Potential φ dagegen ein Skalar.
In der ART erscheinen die 10 Koeffizienten gik die das grav.Potential bestimmen.
Durch diese 10 unabhängige Komponenten des metrischen Tensors besitzt die ART eine allgemeinere Struktur als die Newtonsche Theorie.

Einstein ging es auch bei der ART um eine Verallgemeinerung der Poissonschen Differenzialgleichung für das Newtonsche Potential φ.
∆φ = -4Π G ρ , mit Laplace-Operator ∆, grav.Konstante(Newton) G und Massedichte ρ

Die Potentiale gik hängen von der Verteilung der Massen ab, die ihrerseits die Krümmung bestimmen.
Die Bestimmung der Geometrie bedeutet die Bestimmung des grav.Feldes und umgekehrt.

Anstelle der Massedichte ρ in der Possonschen-Gleichung tritt in der ART ein Tensor Tik auf, der die Energie-, Impuls-, Massenstromdichte, Drücke und Spannungen mathematisch zusammenfasst:

Rik - 1/2 gik R + χ Tik = 0 , mit dem Riemannschen Krümmungstensor Rik und der grav.Konstanten(Einstein) χ

Man kann zeigen, dass dieses Gleichungssystem im Grenzfall das einfache Newtonsche Gesetz enthält.

So, nun Du weiter SCR.

Gruß EMI
__________________
Sollen sich auch alle schämen, die gedankenlos sich der Wunder der Wissenschaft und Technik bedienen, und nicht mehr davon geistig erfasst haben als die Kuh von der Botanik der Pflanzen, die sie mit Wohlbehagen frisst.
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  #157  
Alt 02.04.10, 17:07
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Standard AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
das Produkt beider Matrizen muß den Einheitsvektor ergeben.
Das Produkt zweier Matrizen ergibt keinen Vektor, sondern eine Matrix:

a_ij • b_jk = c_ik

Siehe dazu das Falk'sche Schema.

Handelt es sich um zwei Tensoren, so ergibt das Produkt einen Tensor höherer Stufe.

Zur Erinnerung:

Bei der Multiplikation zweier Tensoren n-ter und m-ter Stufe entsteht ein Tensor (n + m)-ter Stufe.

Gr. zg
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  #158  
Alt 02.04.10, 17:14
Uli Uli ist offline
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Standard AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
Diese Matrix ist invers zur obigen Matrix des kovarianten Metriktensors, das Produkt beider Matrizen muß den Einheitsvektor
Müsste natürlich "Einheitsmatrix" heißen: eine Matrix mal ihrer Inversen sollte die identische Abbildung (die "1" in Matrixschreibweise) ergeben; das ist genau die Matrix, die du zum Schluss hingeschrieben hast.
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  #159  
Alt 02.04.10, 18:36
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
Guru
 
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Standard AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:
Zitat von Uli Beitrag anzeigen
Müsste natürlich "Einheitsmatrix" heißen: eine Matrix mal ihrer Inversen sollte die identische Abbildung (die "1" in Matrixschreibweise) ergeben; das ist genau die Matrix, die du zum Schluss hingeschrieben hast.
Haargenau richtig!

A · A^-1 = E

Charakteristikum der Einheitsmatrix (Idendity matrix) ist, dass die Hauptdiagonale aus Einsen besteht. Die übrigen Elemente sind Null.

Ferner: Die Multiplikation einer Einheitsmatrix mit einer Matrix A ergibt wieder die Matrix A.

Für die inverse Matrix schlage man nach unter Gauß-Jordan-Algorithmus.

Für einfache Matrizen (2,2; 3,3) lässt sich die Inverse bequem über die Determinante bestimmen. Dazu benutze man die Regel von Sarrus.

Soviel zur Präzisierung.

at SCR
Du siehst, wir nehmen dir einen Teil deiner Arbeit ab. Das tun wir gerne.

Gr. zg
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  #160  
Alt 02.04.10, 21:24
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Standard AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Die von Einstein erhobene Forderung, dass

g_ik = g_ki

wird erfüllt, dadurch, dass der metrische Tensor ein symmetrischer Tensor 2. Stufe sein müsse. Aus den zehn unabhängigen Komponenten des g_ik resultieren die Feldgleichungen der Gravitation.

Historische Notiz:

Es wird darauf hingewiesen, dass Einstein in späteren Jahren auch mit einem antisymmetrischen Fundamentaltensor operierte, um so mehr Raum für das elektromagnetische Feld zu erlangen. Weil er sich aber auf nur vier Weltdimensionen beschränkte, gelang ihm sein Vorhaben nur teilweise. Das Endziel einer Vereinheitlichten Feldtheorie blieb ihm versagt.

Gr. zg
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